En faisant des opérations sur les lignes (c'est-à-dire que l'on fait avec), il faut réussir à annuler les coefficients devant à partir de la deuxième ligne. Comme on utilise pour tout de sorte que le système devienne:
Si tous les coefficients pour et sont nuls, alors les opérations de triangularisation du système sont terminées. Fiche résumé matrices des. Si au moins l'un des coefficients pour et est non nul, on introduit en changeant éventuellement l'ordre des équations \`a le pivot suivant de deuxième indice minimum. En changeant éventuellement l'ordre des équations, on suppose que c'est le coefficient de dans la ligne On obtient un système du type:
avec
Attention: on ne touche pas à la première ligne dans cette phase de l'algorithme. Pour les lignes à on effectue l'opération de fa\c{c}on à faire disparaître le coefficient de dans les lignes numérotées de à
On poursuit la méthode précédente sur les lignes à jusqu'à ne plus trouver de pivot. On obtient à la fin un système triangulaire que l'on résout en commençant par la dernière équation.
Fiche Résumé Matrices La
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECG1
Matrices inversibles, produit de matrices & polynôme d'une matrice
Méthode 1: Produit de matrices. Rappelons que la notation désigne l'ensemble des matrices à coefficients dans ayant lignes et colonnes. Fiche résumé matrices la. Dans le cas où on identifie avec
Soient et deux matrices. Pour que le produit ait un sens, il faut et il suffit que Dans ce cas,
Dans le cas particulier où et sont deux matrices carrées d'ordre le produit est défini et est une matrice carrée d'ordre
Il faut donc retenir que:
le produit est donc possible si et seulement si le nombre de colonnes de est égal au nombre de lignes de
si et
alors o\`u si et on a
dans le cas particulier où est une matrice colonne alors le produit est une matrice colonne dont le nombre de lignes est égal au nombre de lignes de
Si et alors avec, pour
Exemple: On pose et
Calculer les matrices et si cela est possible. Réponse:
Le nombre de colonnes de est égal au nombre de lignes de donc le produit existe et
=
Méthode 2: Polynôme d'une matrice.
Fiche Résumé Matrices Des
Si le système s'écrit (puisque la dernière équation est):
soit encore
Le système admet une infinité de solutions
Méthode 5: Montrer qu'une matrice est inversible et calculer son inverse. Les matrices des fiches d'identité des oeuvres d'art ~ La Classe des gnomes. On rappelle que la matrice carrée d'ordre est dite inversible s'il existe une matrice telle que La matrice est alors unique et on la note
On sait que s'il existe une matrice carrée de même ordre que telle que ou telle que alors est inversible et
On rappelle aussi qu'une matrice diagonale ou triangulaire est inversible si, et seulement si, le produit des termes diagonaux est non nul. Voici diverses méthodes pour montrer qu'une matrice carrée d'ordre est inversible et calculer son inverse:
On peut résoudre le système c'est-à-dire étant donnée une matrice colonne arbitraire à lignes, existe t-il unique de type telle que? Si oui, est inversible, sinon elle ne l'est pas. Lorsqu'elle est inversible, on obtient en exprimant en fonction de
Si l'on a un polynôme annulateur de de terme constant on peut isoler et factoriser par le reste de l'expression pour faire apparaître une relation du type (ou) et pour conclure que est inversible d'inverse
Exemple: Montrer que la matrice est inversible et calculer son inverse.
Il y a équivalence entre
1. est inversible. 2. 3. L'endomorphisme canoniquement associé à est un automorphisme
4. Pour tout de matrice dans des bases et, est un isomorphisme de sur. 5. 6. telle que
7. telle que
Dans ce cas. P11: Soit une matrice triangulaire. Cours Matrice d'une application linéaire - prépa scientifique. est inversible ssi le produit des termes diagonaux de est non nul. L'inverse d'une matrice triangulaire supérieure (resp. inférieure) est triangulaire supérieure (resp. inférieure). Les épreuves de mathématiques sont les épreuves de concours avec le coefficient le plus élevé. Les impasses sur les chapitres de maths en Maths Sup sont donc à proscrire. Pour se rendre compte de l'importance des mathématiques dans chaque concours, il est possible de consulter le simulateur d'admissibilité aux concours CPGE. Utiliser les cours en ligne et exercices corrigés de Maths Sup est une bonne solution pour préparer sa rentrée en Maths Spé. Quelques exemples de cours à bien travailler:
intégration
déterminants
espaces préhilbertiens
espaces euclidiens
séries numériques
probabilités
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