Si f est une fonction polynôme d'expression f\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0, alors sa dérivée, f', admet pour expression:
f'\left(x\right)=na_nx^{n-1}+\left(n-1\right)a_{n-1}x^{n-2}+\dots+a_1 On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=6x^4-3x^2+5x-2. Comme fonction polynôme, f est dérivable sur \mathbb{R} et sa dérivée f' a pour expression:
f'\left(x\right)=6\times 4x^3-3\times 2x+5\times 1+0
f'\left(x\right)=24x^3-6x+5 On considère la fonction f définie sur I=\left]1;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\dfrac{x+2}{x-1}. La fonction f est de la forme \dfrac{u}{v} avec u\left(x\right)=x+2 et v\left(x\right)=x-1. Comme restrictions de fonctions affines à l'intervalle I, les fonctions u et v sont dérivables sur I, et pour tout réel x\in I, u'\left(x\right)=1 et v'\left(x\right)=1. La dérivation de fonction : cours et exercices. De plus, la fonction v ne s'annule pas sur l'intervalle I. Par quotient, la fonction f est dérivable sur l'intervalle I, et f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}. Ainsi, pour tout réel x\in I, on a:
f'\left(x\right)=\dfrac{1\times \left(x-1\right)-\left(x+2\right)\times 1}{\left(x-1\right)^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{\left(x-1\right)-\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{x-1-x-2}{\left(x-1\right)^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{-3}{\left(x-1\right)^2} III Les applications de la dérivation A Le sens de variation d'une fonction Signe de la dérivée et variations de la fonction Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I:
Si f' est positive sur I, alors f est croissante sur I.
Leçon Dérivation 1Ère Séance
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Leçon Dérivation 1Ère Section Jugement
Extrema locaux
Définitions
Soit f une fonction définie sur l'intervalle
et soit
On dit que f admet un maximum local en a s'il existe un intervalle ouvert
tel que
et tel que, pour tout
on ait
On dit que f admet un minimum local en a s'il existe un intervalle ouvert
Un extremum local est soit un maximum local, ou soit un minimum local. Extrama locaux
Fonctions dérivables et extrema
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle. Leçon dérivation 1ères images. Si la fonction admet un extremum ou un extremum local en un point a et si a n'est pas une borne de, alors
Attention
Remarque
Application de la dérivée à la recherche de limites
L'utilisation de la dérivée peut permettre de trouver dans certains cas des limites qui sont des formes indéterminées. Vous avez choisi le créneau suivant:
Nous sommes désolés, mais la plage horaire choisie n'est plus disponible. Nous vous invitons à choisir un autre créneau.
Leçon Dérivation 1Ère Série
Par conséquent, $f(2, 25)$ est un extremum local de $f$,
Et donc: $f\, '(2, 25)=0$. On a vu précédemment que $f'(2)=12$. Relier cette valeur au premier exemple du chapitre. Considérons le premier exemple du chapitre. Pour $h=1$, ${f(2+h)-f(2)}/{h}$ est le coefficient directeur de la corde (AB), soit 19. Pour $h=0, 5$, ${f(2+h)-f(2)}/{h}$ est le coefficient directeur de la corde (AC), soit 15, 25. Pour $h=0, 1$, ${f(2+h)-f(2)}/{h}$ est le coefficient directeur de la corde (AD), soit 12, 61. Quand on passe de B à C, puis de C à D, $h$ se rapproche de 0, et le coefficient directeur de la corde se rapproche de 12. Or, comme la tangente à $C_f$ en 2 a pour coefficient directeur $f'(2)=12$, on a: $ \lim↙{h→0}{f(2+h)-f(2)}/{h}=12$. Leçon dérivation 1ère séance. C'est donc cohérent avec les valeurs des coefficients directeurs des cordes qui semblent
de plus en plus proches du coefficient directeur de la tangente à $C_f$ en 2. A retenir! Un nombre dérivé est un coefficient directeur de tangente. Propriété
La tangente à $\C_f$ en $x_0$ a pour équation $y=f(x_0)+f\, '(x_0)(x-x_0)$.
Comme la dérivée de f passe d'un signe négatif à un signe positif en x=\dfrac35, cet extremum est un minimum local. f' peut s'annuler en un réel a (en ne changeant pas de signe) sans que f admette un extremum local en a. C'est par exemple le cas de la fonction cube en 0. Si f admet un extremum local en a, alors sa courbe représentative admet une tangente horizontale au point d'abscisse a.
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publié le 30/03/2019
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