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Tableau Des Integrales
Par lecture inverse du tableau des dérivées et en utilisant la propriété vu précédemment, on en déduit le tableau suivant, à connaître par cœur et à ne pas confondre avec celui des dérivées!
Tableau Des Intégrales Curvilignes
En analyse, l' intégrale définie sur l'intervalle [ a, b], d'une fonction intégrable f s'exprime à l'aide d'une primitive F de f:
Les primitives de la plupart des fonctions qui sont intégrables ne peuvent être exprimées sous une « forme close » (voir le théorème de Liouville). Toutefois une valeur de certaines intégrales définies de ces fonctions peut parfois être calculée. Quelques valeurs d'intégrales particulières de certaines fonctions sont données ici. Liste [ modifier | modifier le code]
pour s > 0 et α, β > 0, où Γ est la fonction gamma d' Euler, dont on connait quelques valeurs particulières, comme:
Γ( n) = ( n – 1)! pour n = 1, 2, 3, …
Γ( 1 / 2) = √ π ( intégrale de Gauss)
Γ( 3 / 2) = √ π / 2
pour s > 1, où ζ est la fonction zêta de Riemann, dont on connaît aussi quelques valeurs particulières, comme:
ζ(2) = π 2 / 6
ζ(4) = π 4 / 90
( intégrale de Dirichlet)
( intégrale elliptique; Β est la fonction bêta d'Euler)
( intégrales d'Euler)
( intégrales de Fresnel)
( intégrale de Poisson).
Tableau Des Intégrales
Soit x un réel compris entre 0 et 1. On a:
-1\leqslant -x \leqslant0
La fonction exponentielle étant strictement croissante sur \mathbb{R}:
e^{-1}\leqslant e^{-x} \leqslant e^{-0}
En gardant uniquement la majoration, on a:
e^{-x}\leqslant1
On multiplie par x^{n} qui est positif. On obtient donc:
x^{n}e^{-x}\leqslant x^n Etape 3 Utiliser les comparaisons d'intégrales On s'assure que a\leqslant b.
Grâce à l'encadrement trouvé dans l'étape précédente, on a alors, par comparaison d'intégrales:
\int_{a}^{b} u\left(x\right) \ \mathrm dx\leqslant\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leqslant\int_{a}^{b} v\left(x\right) \ \mathrm dx
On calcule \int_{a}^{b} u\left(x\right) \ \mathrm dx et \int_{a}^{b} v\left(x\right) \ \mathrm dx pour obtenir l'encadrement voulu. 0 est bien inférieur à 1. Donc, d'après l'inégalité précédente, par comparaison d'intégrales, on a:
\int_{0}^{1} x^ne^{-x} \ \mathrm dx \leqslant \int_{0}^{1} x^n \ \mathrm dx
Or:
\int_{0}^{1} x^n \ \mathrm dx=\left[ \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right]^1_0=\dfrac{1^{n+1}}{n+1}-\dfrac{0^{n+1}}{n+1}=\dfrac{1}{n+1}
On peut donc conclure:
\int_{0}^{1} x^{n}e^{-x} \ \mathrm dx \leqslant \dfrac{1}{n+1} Méthode 2 En utilisant l'inégalité de la moyenne On peut parfois obtenir directement un encadrement d'intégrale grâce à l'inégalité de la moyenne.
Tableau Des Intégrales De Mohr
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Méthode 1 En encadrant la fonction intégrée Lorsque l'on ne peut pas calculer la valeur de \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx car on ne connaît pas de primitive de la fonction sous l'intégrale, l'énoncé peut demander d'encadrer cette intégrale. On peut obtenir cet encadrement à partir d'un encadrement de la fonction f. Soit n un entier naturel. Démontrer l'inégalité suivante: \int_{0}^{1} x^{n}e^{-x} \ \mathrm dx \leqslant \dfrac{1}{n+1} Etape 1 Repérer les éléments à conserver dans l'expression de f
L'encadrement voulu est toujours donné par l'énoncé. On y repère donc les éléments qui doivent être conservés lors de l'encadrement de f. On constate que l'entier n est présent dans le terme de droite. Il faut donc penser à le conserver quand on majorera x^ne^{-x}. Etape 2 Encadrer la fonction f
On encadre la fonction f sur \left[ a;b \right]. On démontre donc un encadrement de la forme suivante:
\forall x\in \left[ a;b \right], u\left( x \right)\leqslant f\left( x \right)\leqslant v\left( x \right) On encadre d'abord e^{-x} sur \left[ 0;1 \right].
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