- comme nous le démontrerons, l'ordre de composition n'a pas d'importance. - cette décomposition en rotation et homothétie est unique et appelée
forme réduite de s. Toute similitude directe, différente d'une translation, s'écrivant de façon unique comme la composée d'une rotation et d'une homothétie: elle est donc entièrement définie par la donnée de son centre, de
son rapport et de son
angle.. On les appelle les
éléments caractéristiques de la similitude directe.. Et l'on notera s de la sorte: s (; k; 0)
Soit M(z) d'image M'(z') par s. Si a = 1: z' - z = b donc: avec d'affixe b.
s est donc la translation de vecteur
Remarque: si b = 0, alors s est l'identité et tout point est alors invariant par s. - si a ≠ 1 alors M(z) invariant par s car: a ≠ 1
s admet donc un unique point invariant d'affixe: M'(z') image de M(z) par s est donc équivalent à:
* Or, l'écriture complexe de h homothétie de centre et de rapport lal est
* Et l'écriture complexe de r rotation de centre et d'angle arg a est
L'écriture de h o r est donc:
L'écriture de r o h est donc:
Dans les deux cas, il s'agit de l'écriture de s, qui est donc égale à h o r et r o h.
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- les rotations d'angle 0 sont des similitudes d'angle 0. Réciproque:
Si s est une similitude telle que: pour tous points distincts A et B du plan d'images respectives A' et B', l'angle
est constant, alors s est une similitude directe. Démonstration: Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan, d'images respectives A', B', C' et D'. Or, l'angle orienté entre un vecteur et son image est constant,
s est une similitude qui conserve les angles orientés, elle est donc directe. 3/ Écriture complexe d'une similitude directe
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé de sens direct
Théorème: soit transformation du plan. Si f est une similitude directe de rapport k et d'angle 0 alors:
alors f admet une écriture complexe de la forme: z' = az + b avec a = keio
Soit f similitude directe de rapport k et d'angle 0. Il est à remarquer que si f a pour écriture: z' = az + b alors O a pour image O' d'affixe b.
Appelons donc b l'affixe de O' image de O par f et soit M'(z') image de M(z) par f.
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Une similitude directe transformant A en A' et B en B' existe donc et est unique
Remarques:
- la démonstration de ce théorème fait souvent l'objet d'un R. O. C au BAC. - s a pour rapport: et pour angle - il est nécessaire d'avoir A ≠ B et A' ≠ B' mais il est possible d'avoir A = A' ou B = B'
auquel cas, les points sont invariants par s. 5/ Forme réduite d'une similitude directe
soit s similitude directe d'écriture complexe: z' = az + b avec a ≠ 0. - si a = 1: s est la translation de vecteur d'affixe b. (le vecteur
n'a aucun rapport avec le vecteur de base. il s'agit seulement d'une notation)
- si a ≠ 1: alors s admet un unique point invariant d'affixe:
et s est la composée:
- de l'homothétie de centre et de rapport lal (rapport de s) et
- de la rotation de centre et d'angle: arg a (angle de s)
est appelé le centre de la similitude directe. Et une écriture complexe de s est alors:
- si lal = 1 et a ≠ 1, l'homothétie est l'identité et s est alors une simple rotation. - si arg a = 0 + 2k, la rotation est l'identité est s est alors une homothétie.
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Problématique: Comment naissent et évoluent les empires chrétiens byzantin et carolingien? POUR COMMENCER:
BLOC D'INTRODUCTION (à réaliser en premier obligatoirement):
BLOC D'APPROFONDISSEMENT
Séance 1: Les Empires chrétiens à la fin du VIII° siècle
Consignes:
A partir de mes connaissances, je complète la frise chronologique et la carte ci-dessous:
Titre: Les Empires chrétiens du haut moyen-âge
Séance 2: Des empereurs puissants (2 parcours en autonomie au choix)
Parcours 1: JUSTINIEN, EMPEREUR BYZANTIN
Parcours 2: CHARLEMAGNE, EMPEREUR D'OCCIDENT
Séance 3: 1054, la chrétienté se divise
TRACES ÉCRITES A MÉMORISER:
POUR ALLER PLUS LOIN:
Frise Chronologique Empire Byzantin Et Carolingien Et
U n basileus: nom donné à l'empereur byzantin (du grec « roi »). En classe (2), je réponds aux questions suivantes: en m'aidant de la carte p 13 ou de la frise. 1) Quel est le nom des deux Empires chrétiens au IXe siècle? 2) A quelles parties de l'ancien Empire romain appartiennent ces deux Empires? 3) Quelles sont les capitales de ces deux empires? En classe (2), par binôme, sur le cahier, je réponds aux questions 1 à 4 sur les documents p 14-15, « Justinien, empereur byzantin ». Après correction, avec mon professeur, en classe, je regarde la carte animée p 19 qui permet de situer et décrire l'évolution de l'Empire byzantin. Je relève les éléments suivants à l'oral:
1-Comment évolue l'Empire byzantin entre 1025 et 1350? 2-Quel est le nom des principaux envahisseurs de cet Empire entre le XIe et le XVe siècle? Je regarde cette vidéo pour réviser. Frise chronologique empire byzantin et carolingien de la. A la maison (2), je recopie le bilan I
II. Un empire carolingien éphémère
A la maison (3), ensuite, je recopie le titre du II et les définitions et j'apprends:
Empire carolingien: le nom donné à l'empire fondé par Charlemagne.
Frise Chronologique Empire Byzantin Et Carolingien Francais
Carte mentale Élargissez votre recherche dans Universalis Début du vii e siècle Anségisel, fils d' Arnoul, évêque de Metz, épouse Begga, fille de Pépin I er de Landen dit l'Ancien. Leur couple constitue la souche de la future dynastie carolingienne. 687 Pépin II de Herstal, leur fils, vainc les Neustriens à Tertry. Il devient maire des palais d' Austrasie et de Neustrie. 714 Mort de Pépin II. Un de ses fils, Charles (appelé plus tard Martel) devient à son tour princeps et maire du palais d'Austrasie (et de Neustrie trois ans plus tard). Sous-thème 1 : Byzance et l’Europe carolingienne (Ve – XIIIe siècle) – Mon classeur numérique. 741 Mort de Charles Martel. 751 Fin des Mérovingiens. Pépin III dit le Bref, fils de Charles Martel, est sacré roi des Francs par Boniface et les évêques francs. 754 Le pape Étienne II vient en Francie et sacre à son tour Pépin ainsi que ses deux fils, Carloman et Charles, le futur Charlemagne. 771 Mort de Carloman. Charles devient seul roi des Francs. 774 Charles devient roi des Lombards, après son intervention en Italie pour défendre le pape. 778 Expédition de Charles contre Saragosse.
Que sais-je? Quels peuples dominent la Méditerranée du Vᵉ siècle avant J. -C. au Vᵉ siècle après J. -C.? Les Juifs et les chrétiens. Les Grecs et les Romains. Les Égyptiens et les Assyriens. Quels sont les pouvoirs de l'empereur romain dans l'Antiquité? L'empereur a uniquement des pouvoirs religieux. L'empereur a tous les pouvoirs. L'empereur a uniquement des pouvoirs militaires. Quelle est la religion officielle de l'Empire romain à la fin de l'Antiquité? Le polythéisme. Les Romains sont athées. Compléter une frise chronologique sur les grandes dates des empires byzantin et carolingien - 5e - Brevet - Questions Histoire - Kartable. Le christianisme.