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Màj le 22 septembre 2019
Voici 3 exercices corrigés de probabilités sur la loi de poisson, loi normale et loi binominale. Avant de faire ces exercices je vous invite à consulter ce cours sur la loi de poisson avec des exemples corrigés et aussi ce cours de statistiques en pdf pour les étudiants de la Fsjes S3. Télécharger les exercices sur loi de poisson – loi normale – loi binomiale
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Exercices Corrigés De Probabilité Loi De Poisson Lune
On considère comme succès « tirer une boule blanche » et échec « tirer une boule noire ». la probabilité d'obtenir un succès est p= et la probabilité d'obtenir un échec est q= ( q=1-p)
Au succès, on peut associer le nombre 1
A l'échec on peut associer le nombre 0. Pendant un tirage La variable aléatoire X « nombre de succès » peut prendre soit:
X=1 si la boule tirée est blanche
X=0 si la boule tirée est noire
La loi de probabilité de X est:
q=
p=
On dit que La variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p
Schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes pour lesquelles la probabilité du succès est p On considère un schéma de n épreuves de Bernoulli représentée par un arbre et k est un entier compris entre 0 et n. L'entier est le nombre de chemins de l'arbre réalisant k succès parmi n épreuve. Une urne contient 10 boules: 6 rouges et 4 boules blanches. On prélève au hasard successivement, avec remise, 4 boules de l'urne.
Exercices Corrigés De Probabilité Loi Du Poisson Soluble
X désigne le nombre de boules rouges obtenues à l'issue des 3 tirages. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X? Solution: Un tirage de 4 boules consiste en 3 épreuves, identiques et indépendantes (puisque les prélèvements sont avec remise). Chaque épreuve a deux issues possibles: « succès » S: la boule est blanche avec la probabilité p=0. 4 « échec »: la boule est rouge avec la probabilité q=0. 6
La variable aléatoire X « nombre de succès » suit la loi B(n, p) de paramètres n =3 et p=0. 4
La loi de probabilité de X est résumée dans le tableau:
2
Total
1 x0, 4 x0, 6 3
3 x0, 4 1 x0, 6 2
3 x0, 4 2 x0, 6 1
1 x0, 4 3 x0, 6
X: la variable aléatoire qui donne le nombre de succès. p: la probabilité du succès
q =1-p probabilité de l'échec. Alors X suit la loi binomiale de paramètres n et p et pour tout entier k compris entre 0 et n, on a: la formule générale:
Le coefficient binomial est le nombre entier de chemins de l'arbre réalisant k succès parmi n;;
Les coefficients binomiaux 1 3 3 1 indiquent le nombre de chemins de l'arbre réalisant k succès.
Exercices Corrigés De Probabilité Loi De Poissons
la variable aléatoire indiquant le nombre de passagers se présentant à l'embarquement. Quelle est la loi de probabilité suivie par? Par quelle loi normale peut-on approcher la loi de? Les paramètres de la loi seront déterminés à près. En utilisant l'approximation par la loi normale, calculer. Penser vous que le risque pris par la compagnie en acceptant 327 réservations soit important? Serait-il raisonnable pour la compagnie d'accepter sur ce même vol 330 réservations? 335 réservations? La compagnie accepte 337 réservation sur ce même vol d'une capacité de 320 passagers. 310 personnes sont déjà présentes à l'embarquement. Quelle est la
probabilité que moins de 320 personnes se présentent en tout à
l'embarquement? Exercice 7
Une entreprise fabrique des brioches en grande quantité. On pèse les boules de pâte avant cuisson. On note la variable aléatoire qui, à chaque boule de pâte, associe sa masse. On admet que suit la loi normale de moyenne 700 g et d'écart type 20 g.
Seules les boules dont la masse est comprise entre 666 g et 732 g sont acceptées à la cuisson.
Quelle est la probabilité qu'une boule, prise au hasard dans la production, soit acceptée à la cuisson? Déterminer le réel positif
afin que l'on ait:. Enoncer ce résultat à l'aide d'une phrase. On admet que 8% des boules sont refusées à la cuisson. On prélève au hasard, successivement et avec remise, boules dans la production. On note la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de
boules, associe le nombre de boules qui seront refusées à la cuisson. Cette variable aléatoire suit une loi binomiale. Dans le cas,
calculer la probabilité d'avoir, parmi les 10 boules prélevées, exactement 3 boules refusées à la cuisson;
calculer la probabilité d'avoir, parmi les 10 boules prélevées, au moins 7 boules acceptées à la cuisson. Exercice 8
Une ligne de transmission entre un émetteur et un récepteur transporte des pages de texte, chaque page étant représentée par 100000 bits. La probabilité pour qu'un bit soit erroné est estimé à 0, 0001 et on admet que les erreurs sont indépendantes les unes des autres.
Quelques jours plus tard, on prélève à nouveau aléatoirement 500
poissons dans le lac. Parmi ces 500 poissons, on en compte 24 qui sont marqués. On suppose que pendant la période d'étude le nombre de poissons dans le lac est stable. Quelles sont les proportions
et de poissons marqués dans l'échantillon prélevé et dans le lac? Donner, à près, l'intervalle de confiance au niveau de 95% de la proportion de poissons marqués dans le lac. En déduire un encadrement de la proportion du nombre de poissons dans le lac puis du nombre de poissons dans le lac. On considère que la population de poissons est trop importante pour le lac (dimensions, ressources,... ) lorsqu'il y a plus de 50000 poissons qui y vivent. En supposant que la proportion
de poissons marqués reste la même dans un échantillon prélevé de plus grande taille, quelle devrait-être cette taille pour que l'on puissse affirmer, au niveau de confiance de 95%, que le lac n'est pas surpeuplé en poissons? Voir aussi: