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Je suis Tina, esthéticienne diplômée.
\ \frac{\sin x\ln(1+x^2)}{x\tan x}\textrm{ en 0}\\
\displaystyle \mathbf 5. \ \ln(\sin x)\textrm{ en}0
&\quad\quad&\displaystyle \mathbf 6. \ \ln(\cos x)\textrm{ en 0}
Enoncé Soit $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$ un polynôme. On note $p$ le plus petit indice tel que $a_p\neq 0$. Déterminer un équivalent simple de $P$ en $+\infty$. Déterminer un équivalent simple de $P$ en $0$. Enoncé Soit $\gamma>0$. Le but de l'exercice est de prouver que
$$e^{\gamma n}=o(n! ). $$
Pour cela, on pose, pour $n\geq 1$, $u_n=e^{\gamma n}$ et $v_n=n! $. Démontrer qu'il existe un entier $n_0\in\mathbb N$ tel que, pour tout $n\geq n_0$,
$$\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq\frac 12\frac{v_{n+1}}{v_n}. $$
En déduire qu'il existe une constante $C>0$ telle que, pour tout $n\geq n_0$, on a
$$u_n\leq C\left(\frac 12\right)^{n-n_0}v_n. Exercice, intégrale, logarithme, suite, primitive, continuité, TVI - Terminale. $$
Conclure. Enoncé Classer les suites suivantes par ordre de "négligeabilité":
$$\begin{array}{llll}
a_n=\frac 1n&b_n=\frac1{n^2}&c_n=\frac{\ln n}n&d_n=\frac{e^n}{n^3}\\
e_n=n&f_n=1&g_n=\sqrt{ne^n}.
Exercice Suite Et Logarithme
6) Démontrer que l = α. On considère la fonction f définie sur l'intervalle [1; +∞[ par:
f(x) = (x − 1)e 1−x. On désigne par C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O, → i, → j). Cette courbe est celle du bas sur le graphique donné en début d'exercice. Pour tout nombre réel x supérieur ou égal à 1, on pose:
F(x) = ∫ [de 1 à x] f(t)dt = ∫ [de 1 à x] (t − 1)e 1−t dt. 7) Démontrer que la fonction F est dérivable et croissante sur l'intervalle [1; +∞[. 8) Montrer que la fonction x → −x × e 1−x est une primitive de f sur l'intervalle [1; +∞[, en déduire que, pour tout réel x ∈ [1; +∞[,
F(x) = −x × e 1−x + 1. 9) Démontrer que sur l'intervalle [1; +∞[, l'équation
« F(x) = 1 / 2 » est équivalente à l'équation « ln(2x) + 1 = x ». Exercice suite et logarithme gratuit. Soit un réel a > 1. On considère la partie D a du plan limité par la
courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 1 et x = a. 10) Déterminer le nombre a tel que l'aire, en unité d'aire, de D a soit égale à 1 / 2 et colorier D a sur le graphique pour cette valeur de a.
Exercice Suite Et Logarithme Et
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Exercice Suite Et Logarithme 1
\ \lim_{x\to+\infty}\sqrt{4x+1}\ln\left(1-\frac{\sqrt{x+1}}{x+2}\right)\\
\displaystyle \mathbf 7. \ \lim_{x\to+\infty}\exp\left(\frac1{x^2}\right)-
\exp\left(\frac{1}{(x+1)^2}\right)
&&\displaystyle \mathbf 8. \ \lim_{x\to 0}\left(\frac{x}{\sin x}\right)^{\frac{\sin x}{x-\sin x}}\\\displaystyle \mathbf 9. \ \lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos x)\arctan x}{x\tan x}
Enoncé Comparer les fonctions suivantes:
$x\ln x$ et $\ln(1+2x)$ au voisinage de 0;
$x\ln x$ et $\sqrt{x^2+3x}\ln(x^2)\sin x$ au voisinage de $+\infty$;
Enoncé Montrer que
$$\sum_{k=1}^n k! \sim_{+\infty} n!. $$
Comparaisons théoriques
Enoncé Est-il vrai que si $u\sim_a v$, alors $u$ et $v$ ont le même signe au voisinage de $a$? Exercice suite et logarithme 1. Enoncé Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies au voisinage d'un réel $a$ ou de $a=\pm\infty$. Montrer que
$e^f\sim_a e^g\iff \lim_a(f-g)=0$. A-t-on $f\sim_a g\implies e^f\sim_a e^g$? Enoncé Soient $f, g:\mathbb R\to\mathbb R$. On suppose que $f\xrightarrow{+\infty} +\infty$. On suppose que $g=_{+\infty}o(f)$.
Un exercice un peu plus difficile que les autres sur la fonction logarithme lié à des suites numériques. Essayez de le faire en prenant votre temps, il vous aidera beaucoup à fixer vos connaissances dans votre cerveau. Exercice suite et logarithme. Soit la fonction f définie par:
Calculer la dérivée première ainsi que la dérivée seconde de la fonction f. Pour tout n ∈ N, on note f (n) la dérivée d'ordre n de f. Montrer par récurrence que, pour tout entier n ≥ 1, où ( u n) et ( v n) sont deux suites telles que u 1 = 1, v 1 = -1, et pour tout n ≥ 1, u n + 1 = v n - ( n + 1) u n et v n + 1 = -( n + 1) v n.