Inscription / Connexion Nouveau Sujet Bonjour, pourriez-vous me donner les pistes pour faire cet exercice s'il vous plait, car je ne voit pas du tout comment commencer à le résoudre:
n
q 2 est la somme des carrés des n premiers entiers naturels non nuls.
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Raisonnement Par Récurrence Somme Des Carrés D
05/03/2006, 15h08
#1
milsabor
suite de la somme des n premiers nombres au carré
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Bonjour
Je recherche comment écrire la suite de la somme des n premiers nombres au carré:
Pn=1+4+9+16+25+... n²
mais d'une meilleure faç ne pense pas que la suite Un=n² soit geometrique, donc je ne sais pas comment calculer la somme de ses n premiers termes
pouvez vous m'aider? Cordialement
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"J'ai comme l'impression d'avoir moi même quelques problèmes avec ma propre existence" Aujourd'hui 05/03/2006, 15h13
#2
Syllys
Re: suite de la somme des n premiers nombres au carré
cette somme est n(n+1)(2n+1)/6, tu peux le montrer par récurence la calculer directement je pense qu'il faut utiliser une astuce du style k^2=(k(k-1)+k) mais je crois pas que ce soit simple..
05/03/2006, 15h16
#3
fderwelt
Envoyé par milsabor Bonjour
Cordialement Bonjour,
Ce n'est effectivement pas une suite géométrique... En vrai,
P(n) = n(n+1)(2n+1) / 6
et c'est un bon exo (facile) de le démontrer par récurrence. Raisonnement par récurrence somme des carrés de. -- françois
05/03/2006, 15h21
#4
ashrak
Une idée qui me passe par la tête c'est de penser aux impaires, par exemple que fait la somme des n premiers impaires... puis de continuer en utilisant le résultat.
Raisonnement Par Récurrence Somme Des Carrés Aux Noix Et
A l'aide d'une calculatrice ou d'un algorithme, vérifiez si ces nombres sont premiers ou non. Que constatez-vous? En 1640, le mathématicien français Pierre de Fermat a émis la conjecture que « pour tout $n\in\N$, $F_n$ est un nombre premier ». Il s'avère que cette conjecture est fausse. Presque un siècle plus tard en 1732, le premier à lui porter la contradiction, est le mathématicien suisse Leonhard Euler en présentant un diviseur (donc deux diviseurs au moins) de $F_5$ prouvant qu'« il existe au moins un nombre de Fermat qui n'est pas premier ». Il affirme que $F_5$ est divisible par 641. Blaise Pascal, à 19 ans, en 1642 invente la première ( calculatrice) qu'il appelait la « Pascaline » ou « machine arithmétique ». [Musée Lecoq à Clermont Ferrand]. Mais, existe-il un moyen de démontrer qu'une propriété dépendant d'un entier $n$, est vraie pour tout $n\in\N$ sans passer par la calculatrice? 🔎 Raisonnement par récurrence - Définition et Explications. 1. 2. Étude d'un exemple
Exercice résolu 1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, « $4^n +5$ est un multiple de $3$ ».
En fait, je ne me souvenais plus de la formule par cœur, alors j'ai fait comme tu dis... (enfin, je me rappelais quand même que cétait du 3ème degré, mais ça c'est à peu près clair). 05/03/2006, 15h52
#9
D'ailleurs si on prends des cubes de côté 1 que l'on dispose en pyramide (base carrée composée de n² cubes sur laquelle on dispose un carré composé de (n-1)² cubes... ), on voit assez intuitivement que le volume va être en n 3 /3. On retrouve bien le terme de plus haut degré. 05/03/2006, 16h27
#10
et maintenant, si je veux seulement la somme des nombres impaires au carré??? comment m'y prends-je? Raisonnement par récurrence - Logamaths.fr. "J'ai comme l'impression d'avoir moi même quelques problèmes avec ma propre existence" 05/03/2006, 16h30
#11
Salut,
Regarde la somme des nombres pairs au carré. Tu devrais pouvoir l'exprimer... Encore une victoire de Canard! 05/03/2006, 16h55
#12
La meilleure méthode pour répondre à la question initiale (et sans malhonnêteté) est celle évoquée par Syllys et c'est pas montrueusement compliqué:
Soit
Il est clair que
Pour
d'où
En réarrangeant, on retrouve le résultat bien connu
Pour, on fait pareil au cran suivant:
On décale les indices, tout dégage sauf le début et la fin... d'où
et de proche en proche la somme des puissances que l'on veut...
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