Et si l'on sait toujours passer d'un barreau au barreau qui le suit (Hérédité). Alors: On peut monter l'échelle. (la conclusion)
II- Énoncé:
Raisonnement par récurrence
Soit une propriété définie sur. Si:
La propriété est initialisée à partir du premier rang, c'est-à-dire:. Et la propriété est héréditaire, c'est-à-dire:. Exercices corrigés sur raisonnement et récurrence Maths Sup. Alors la propriété est vraie pour tout
On commence par énoncer la propriété à démontrer, en précisant pour quels entiers naturels cette propriété est définie, notamment le premier rang. Il est fortement conseillé de toujours noter la propriété à démontrer, cela facilite grandement la rédaction et nous évite des ambiguités. Un raisonnement par récurrence se rédige en trois étapes:
1- On vérifie l'initialisation, c'est-à-dire que la propriété est vraie au premier rang (qui est souvent 0 ou 1). 2- On prouve le caractère héréditaire de la propriété, on suppose que la propriété est vraie pour un entier fixé et on démontre que la propriété est encore vraie au rang. Ici, on utilise toujours la propriété pour pour montrer qu'elle est vraie aussi pour
Il est conseillé de mettre dans un coin le résultat au rang à démontrer pour éviter des calculs fastidieux inutiles.
- Exercice récurrence suite des
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- Exercice récurrence suite du billet
Exercice Récurrence Suite Des
On peut alors définir car. Conclusion: par récurrence, la propriété est vraie pour tout entier
4. Exercices confondus sur le raisonnement par récurrence en Terminale
Exercice 1 le raisonnement par récurrence en Terminale:
On dit qu'un entier est divisible par lorsqu'il existe tel que. Montrer que pour tout entier non nul, divise. Cet exercice est classique en arithmétique. Exercice 2 le raisonnement par récurrence en Terminale:
On dit que 6 divise lorsqu'il existe et que. Montrer que pour tout entier, 6 divise
Correction de l'exercice 1 sur le raisonnement par récurrence en Terminale:
Si, on note: divise
Initialisation: pour donc est vraie. Hérédité: On suppose que est vraie pour un entier donné. Soit en notant, il existe tel que. On reconnaît et on utilise:
comme, alors divise. On a prouvé. Correction de l'exercice 2 sur le raisonnement par récurrence en Terminale:
Si, on note: 6 divise c. a. d. on peut trouver tel que
Initialisation: Par hypothèse, donc est vraie. Exercice récurrence suite du. Il existe tel que
On note et
est le produit de deux entiers consécutifs, l'un est pair et l'autre impair, il est pair donc il peut s'écrire avec
donc 6 divise.
Exercice Récurrence Suite Du
On n'écrit pas car n'est pas un nombre qu'on calcule et on N 'écrit PAS. est plutôt une proposition ("une phrase" mathématique) qui se lit: " La somme est égale à "
2- Hérédité: Soit un entier naturel. Supposons que est vraie, et montrons que dans ce cas, est vraie. Pour pouvoir démontrer une propriété mathématique, il faut tout d'abord la connaître. Dans notre cas, il faut, avant de commencer, trouver ce qu'est l'expression de. Suites et récurrence - Mathoutils. En général, on remplace tout simplement dans l'expression de par pour trouver l'expression de
On simplifie et on trouve:
On va montrer que à partir de
Pour ne pas se perdre, on écrit dans un coin:
Hypothèse:
Résultat à prouver:
On sait que car elle est la somme de à et le nombre qui précède est. Donc:
Donc on a bien est donc est vraie
3- Conclusion:
On a vu que la propriété était vraie au rang 0 et qu'elle est héréditaire, donc elle est vraie
au rang 1, donc au rang de proche en proche elle est donc toujours vraie
Par récurrence, on obtient:
Rédaction de la résolution:
Montrons par récurrence que pour tout
Notons pour cela: Initialisation: Pour Hérédité: Soit un entier naturel et supposons que est vraie.
Exercice Récurrence Suite Du Billet
$v_n={n}/{n(1+{1}/{n})}={1}/{1+{1}/{n}}$. Et par là: $\lim↙{n→+∞}v_n={1}/{1+0}=1$.
Or, on a: Donc:
On conclut par récurrence que:. 2- Montrons par récurrence que
On note
Écriture de la somme sous forme d'addition: Initialisation: Pour, on calcule:
Hérédité: Soit un entier de, supposons que est vraie et montrons que est vraie. Il s'ensuit que est vraie. Conclusion, par récurrence: Merci à Panter pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche