Proposition: $(\mathcal L(E), +, \circ)$ est un anneau. On dit qu'une application linéaire $f:E\to F$ est un isomorphisme si elle est bijective. La fonction réciproque d'un isomorphisme est elle-même une application linéaire. Un endomorphisme qui est aussi un isomorphisme s'appelle un automorphisme de $E$. L'ensemble des automorphismes de $E$ est noté $GL(E)$. Cours sur les sommes au. $(GL(E), \circ)$ est un groupe. L'image directe d'un sous-espace vectoriel de $E$ par une application linéaire est un sous-espace vectoriel de $F$. L'image
réciproque d'un sous-espace vectoriel de $F$ par une application linéaire est un sous-espace vectoriel de $E$. On appelle noyau de l'application linéaire $f\in\mathcal L(E, F)$ le sous-espace vectoriel de $E$
$$\ker(f)=\{x\in E;\ f(x)=0\}. $$
Théorème: $f\in\mathcal L(E, F)$ est injective si et seulement si
$\ker(f)=\{0\}$. On appelle image de l'application linéaire $f\in\mathcal L(E, F)$ le sous-espace vectoriel de $F$
$$\imv(f)=\{f(x);\ x\in E\}. $$
Proposition: Si $(x_i)_{i\in I}$ est une famille génératrice de $E$, alors $\imv(f)=\textrm{vect}(f(x_i);\ i\in I\}$.
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Cours Sur Les Sommes Le
$$
Une famille quelconque de vecteurs est libre si toute sous-famille finie extraite est libre. Une famille qui n'est pas libre est une famille liée. Exemple: Soit $(P_1, \dots, P_n)$ une famille de $\mathbb K[X]$
avec $\deg(P_1)<\deg(P_2)<\dots<\deg(P_n)$. Alors $(P_1, \dots, P_n)$ est une famille libre. Une famille $(x_i)_{i\in I}$ est génératrice de $E$
si tout vecteur de $E$ est combinaison linéaire des $(x_i)_{i\in I}$. Propriétés des familles libres et génératrices:
Soit $X$ et $Y$ deux familles de vecteurs de $E$ avec $X\subset Y$. Somme des angles d'un triangle - Maxicours. si $Y$ est libre, alors $X$ est libre;
si $X$ est génératrice, alors $Y$ est génératrice. si $X$ est une famille génératrice, et si $x\in X$ est combinaison linéaire des vecteurs de $X\backslash\{x\}$, alors $X\backslash \{x\}$ est
une famille génératrice. si $X$ est une famille libre, et si $x\in E$ n'est pas combinaison linéaire des vecteurs de $X$, alors $X\cup\{x\}$ est libre. Sous-espaces vectoriels
Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si $F$ est non-vide et si $F$ est stable par $+$ et $\cdot$.
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Dans le département des Côtes-d'Armor, le transfert est décidé par arrêté préfectoral signé le 15 décembre 2005 [ 12]. Carte routière côtes d armor 8. −1 kilomètre de routes nationales est déclassé. La longueur du réseau routier national dans le département passe ainsi de 269 kilomètres en 2004 à 269 en 2006 pendant que celle du réseau départemental s'accroît de 4 466 à 4 587 kilomètres. Consistance du réseau Le réseau routier comprend cinq catégories de voies: les autoroutes et routes nationales appartenant au domaine public routier national et gérées par l' État [ 13], les routes départementales appartenant au domaine public routier départemental et gérées par les conseils généraux [ 14] et les voies communales [ 15] et chemins ruraux [ 16] appartenant respectivement aux domaines public et privé des communes et gérées par les municipalités. Le linéaire de routes par catégories peut évoluer avec la création de routes nouvelles ou par transferts de domanialité entre catégories par classement ou déclassement, lorsque les fonctionnalités de la route ne correspondent plus à celle attendues d'une route de la catégorie dans laquelle elle est classée.
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