Elle est notée f'. Exercice n°6 Exercice n°7 À retenir • Une fonction f, définie sur un intervalle ouvert contenant un réel a, est dérivable en a si admet une limite finie lorsque x tend vers a. Ce réel est alors noté et appelé le « nombre dérivé de f en a ». • Dans ce cas, est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a. Cette tangente a alors pour équation. Nombre dérivé - Fonction dérivée - Maths-cours.fr. • Si une fonction f est définie et dérivable en tout réel x d'un intervalle ouvert I, alors la fonction qui, à tout, associe est la fonction dérivée de f sur I, elle est notée f'.
Les Nombres Dérivés De La
Interprétation graphique du nombre dérivé
Résumé cours vidéo
Comme expliqué dans la vidéo, le nombre dérivé de f f en a a, noté f ′ ( a) f'(a) est le coefficient directeur à la tangente à C f Cf au point d'abscisse a a. ( C f Cf désignant la courbe représentative de la fonction f f).
Les Nombres Dérivés Et
On considère un réel $h$ strictement positif. Le taux de variation de la fonction $g$ entre $0$ et $0+h$ est:
$$\begin{align*} \dfrac{g(h)-g(0)}{h}&=\dfrac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}{h} \\
&=\dfrac{\sqrt{h}}{h}\\
&=\dfrac{\sqrt{h}}{\left(\sqrt{h}\right)^2}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{h}}\end{align*}$$
Quand $h$ se rapproche de $0$, le nombre $\sqrt{h}$ se rapproche également $0$ et $\dfrac{1}{\sqrt{h}}$ prend des valeurs de plus en plus grandes. En effet $\dfrac{1}{\sqrt{0, 01}}=10$, $\dfrac{1}{\sqrt{0, 000~1}}=100$, $\dfrac{1}{\sqrt{10^{-50}}}=10^{25}$
Le taux de variation de la fonction $g$ entre $0$ et $h$ ne tend donc pas vers un réel. La fonction $g$ n'est, par conséquent, pas dérivable en $0$. Les nombres dérivés de la. II Tangente à une courbe
Définition 3: On considère un réel $a$ de l'intervalle $I$. Si la fonction $f$ est dérivable en $a$, on appelle tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A\left(a;f(a)\right)$ la droite $T$ passant par le point $A$ dont le coefficient directeur est $f'(a)$. Propriété 1: La tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ en un point d'abscisse $a$ est parallèle à l'axe des abscisses si, et seulement si, $f'(a)=0$.
Pour calculer le coefficient directeur, nous ne connaissons qu'une formule:. Pour utiliser cette formule, nous avons besoin des coordonnées de deux points de la droite. Mais nous n'avons les coordonnées que d'un seul! C'est A(a, f(a)). Prenons donc un petit nombre h au hasard et introduisons le point B(a+h;f(a+h)). Nous pouvons maintenant calculer le coefficient directeur de la droite (AB). Nous obtenons un résultat, mais bien sûr, cette droite (AB) n'est pas la tangente dont nous cherchions le coefficient directeur! Les nombres dérivés 2. Cependant, on remarque que plus h est proche de zéro, plus la droite verte se rapproche de la droite rouge, et plus le nombre c(h) que nous pouvons calculer est proche de f'(a). À partir de l'expression c(h) nous allons donc "faire tendre" h vers 0 et alors c(h) va "tendre vers" f'(a). On pourrait penser que pour calculer f'(a) il suffit donc de calculer c(h) puis remplacer h par zéro. Malheureusement, dans le magnifique mais terrible monde des mathématiques
tout n'est pas si simple et on ne peut pas toujours appliquer cette méthode.
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