Voici une question classique des sujets E3C de première. Cette question est à ne pas confondre avec « justifier qu'une suite est géométrique «. Alors que cette dernière s'appuie, en général, sur la traduction de l'énoncé, pour démontrer qu'une suite est géométrique, il s'agit de montrer qu'une suite auxiliaire est géométrique. Une suite auxiliaire est une suite qui ne nous intéresse pas au premier degré dans l'exercice mais qui permet de démontrer des résultats de la suite principale. En général, elle sert à exprimer Un en fonction de n pour une suite arithmético géométrique. On vous détaille la méthode pour répondre à cette question et obtenir tous les points, ci-dessous. Démontrer que (Vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison
On va étudier dans cette partie le cas d'une suite arithmético géométrique. Comment montrer qu une suite est géométriques. Prenons l'exemple du sujet E3C N°02608 dont voici un extrait: On admet dans la suite de l'exercice que: $U_{n+1}=1, 05U_n+15$ et $U_0=300 On considère la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n, par $V_n=U_n+300$ Calculer $V_0$ et puis montrer que la suite (Vn) est géométrique de raison $q=1, 05$ Correction détaillée et annotée: On sait que $V_n=U_n+300$ donc $V_0=U_0+300=600$ Maintenant il faut montrer que la suite (Vn) est géométrique.
Considérons la suite numérique u n suivante:
u 0 = 2
∀ n ∈ N, u n+1 = 3 u n - 1
Ainsi que la suite v n définie par:
∀ n ∈ N, v n = 2 u n - 1
Dans ce cours méthode, je vais vous montrer comment démontrer que v n est géométrique. Puis, nous donnerons la forme explicite de cette suite géométrique. Rappelons tout d'abord la définition d'une suite géométrique. Définition
Suite géométrique
On appelle suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q la suite définie par:
Exprimer v n+1 en fonction de v n
Pour tout entier naturel n, calculons v n+1. Il faudra faire apparaître l'expression de v n dans le résultat pour pouvoir exprimer v n+1 en fonction de v n. Comment montrer qu une suite est géométrique d. En effet, nous cherchons à obtenir un résultat qui soit de la forme: v n+1 = v n × q, avec q ∈ R (c'est la raison de suite géomtrique, vous l'aurez compris). Calculons donc v n+1:
∀ n ∈ N, v n+1 = 2 u n+1 - 1
v n+1 = 2 × (3 u n - 1) - 1
v n+1 = 6 u n - 2 - 1
v n+1 = 6 u n - 3
Exprimons maintenant v n+1 en fonction de v n. On sait que:
Donc, ∀ n ∈ N:
u n =
v n + 1
2
Ainsi, ∀ n ∈ N:
v n+1 = 6
- 3
v n+1 = 3 × ( v n + 1) - 3
v n+1 = 3 v n + 3 - 3
v n+1 = 3 v n
Conclure que la suite v n est géométrique
Rappellons tout d'abord la condition pour qu'une suite soit géométrique: si ∀ n ∈ N, v n+1 = v n × q, avec q ∈ R, alors v n est une suite géométrique.
Inscription / Connexion Nouveau Sujet Je bloque sur cet exercice:
On considére la suite (vn) définie pour tout entier naturel n>ou= 1 par vn = (un-1)/n - Montrer que vn est géométrique
Pourriez-vous m'aider? Je vous remercie d'avance
Posté par Glapion re: Montrer qu'une suite est géométrique 20-09-15 à 17:50 Sans la définition de U n? Montrer qu'une suite est géométrique et donner sa forme explicite | Cours première S. Posté par Tontonrene90 re: Montrer qu'une suite est géométrique 21-09-15 à 08:23 Excuses-moi! Comme cet exercice est en 2 parties, j'ai oublié de taper le début, le voici:
On considère la suite ( Un) définie pour tout entier n non nul, par son premier terme U1 = 2 et la relation de récurrence Un+1 = ( (n+1)Un + n - 1) / 2n
Suit le texte que j'avais écrit précédemment:
" On considére la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n>ou= 1 par Vn = (Un-1) / n - Montrer que vn est géométrique ".... et merci de m'avoir répondu! Posté par valparaiso re: Montrer qu'une suite est géométrique 21-09-15 à 08:45 Bonjour
au numérateur pour V n est ce U n-1
ou U n -1?
Voilà un raisonnement à bien maitriser pour tous les élèves de Terminale, car il se retrouve très souvent dans les sujets du bac. La fiche pour montrer qu' une suite est géométrique est accessible ici. Si vous souhaitez aller plus loin, vous avez le chapitre sur les suites de Première et celui de Terminale également. Articles similaires
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