Suite et fonction logarithme au bac
Vous êtes en classe de terminale générale et vous êtes devenu spécialiste des logarithmes. Il est donc temps de revenir à de vieilles connaissances: les suites. L'exercice qui suit est extrait de l'épreuve du bac S de mai 2019, Amérique du nord. Sans être très difficile, il présente beaucoup de questions à tiroirs: il faut avoir répondu à une question pour pouvoir répondre à la suivante. C'est un peu le principe de la récurrence mais appliqué à l'énoncé (appréciez la mise en abîme! ). La plupart des questions peuvent être traitées en maths complémentaires mais quelques points ne sont abordés qu'en maths de spécialité. Énoncé
Partie A: établir une inégalité
Sur l' intervalle \([0\, ;+∞[, \) on définit la fonction \(f\) par \(f(x) = x - \ln (x+1). Suites et logarithme : exercice de mathématiques de terminale bac techno - 852463. \)
Étudier le sens de variation de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0\, ;+∞[. \)
En déduire que pour tout \(x ∈ [0\, ; + ∞[, \) \(\ln (x+1) \leqslant x. \)
Partie B: application à l'étude d'une suite
On pose \(u_0 = 1\) et pour tout entier naturel \(n, \) \(u_{n+1} = u_n - \ln(1 + u_n).
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Inscription / Connexion Nouveau Sujet Niveau terminale bac techno Posté par patbol 29-08-20 à 18:10 Bonjour,
Je suis complement bloqué sur cette exercice:
En imprimerie, pour affaiblir la lumière uniformément
sur tout le spectre lumineux, les entreprises sont quelquefois
amenées à utiliser des filtres gris neutres. Ces filtres sont caractérisés par leur densité optique D,
définie par: D = - logT, où log désigne le logarithme
décimal et T est le facteur de transmission. Si on superpose plusieurs filtres A, B, C, etc. de
facteurs respectifs TA, TB, TC, etc., le facteur de transmission
résultant T est égal à: T = TA * TB * TC * etc. On note: Tn le facteur de transmission résultant de
la superposition de n filtres identiques Dn la densité
optique correspondant à un filtre de facteur de transmission
Tn. Dans cet exercice, on utilise des filtres identiques
dont le facteur de transmission est égal à 0, 4. 1. Exercice suite et logarithme francais. Compléter le tableau de valeurs n° 2. On donnera
les valeurs exactes. Tableau 2
NOMBRE DE FILTRES N 1 2 3 4
FACTEUR DE TRANSMISSION TN
Est ce que pour 1 on fait -log 0, 4 puis pour le 2 -log 0, 4 * 0, 4?
Exercice Suite Et Logarithme Francais
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l'exercice: exercice, intégrale, logarithme, suite. Exercice précédent: Primitives – Intégrale, fonction, somme, encadrement – Terminale
Ecris le premier commentaire
Exercice Suite Et Logarithme En
Maths de terminale: exercice d'intégrale, logarithme et suite. Fonction, variation, récurrence, fonction, continuité, limite, convergence. Exercice N°458:
On considère la fonction g définie sur l'intervalle [1; +∞[ par:
g(x) = ln(2x) + 1 − x. Cette question demande le développement d'une certaine démarche comportant plusieurs étapes. 1) Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet sur l'intervalle [1; +∞[ une unique solution notée α. Donner un encadrement au centième de α. Exercice, intégrale, logarithme, suite, primitive, continuité, TVI - Terminale. 2) Démontrer que ln(2α) + 1 = α. Soit la suite (u n) définie par u 0 = 1 et pour tout entier naturel n,
u n+1 = ln(2u n) + 1. On désigne par Γ la courbe d'équation y = ln(2x) + 1 dans un repère orthonormal (O; → i; → j). Cette courbe est celle du haut dans le graphique des deux courbes. 3) En utilisant la courbe Γ, construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite. 4) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
1 ≤ u n ≤ u n+1 ≤ 3. 5) En déduire que la suite (u n) converge vers une limite finie l ∈ [1; 3].
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Donc \(P(n)\) est vérifiée puisque \(u_n \geqslant 0\) à partir du rang du rang 0.
b. Question facile: \(u_{n+1} - u_n\) \(=\) \(u_n - \ln(1 + u_n) - u_n\) \(=\) \(- \ln(1 + u_n)\)
Nous venons de montrer que \(u_n \geqslant 0. \) Donc \(\ln (1 + u_n) \geqslant 0\) et évidemment, \(- \ln(1 + u_n) \leqslant 0. \)
La suite \((u_n)\) est décroissante. c. Exercices corrigés -Comparaison des suites et des fonctions. \((u_n)\) étant décroissante et minorée par 0, elle est convergente. 3- \(ℓ = f(ℓ)\)
\(⇔ ℓ = ℓ - \ln(1 + ℓ)\)
\(⇔\ln(1 + ℓ) = 0\)
\(⇔ ℓ = 0\)
4- a. Calcul de seuil. L'algorithme tel qu'il était attendu peut ressembler à ceci:
N ← 0
U ← 1
tant que U \(\geqslant\) 10 -p
U ← U - ln(1 + U)
N ← N + 1
fin tant que
afficher N
En langage Python, nous pourrions avoir le programme suivant. Il faut penser à charger la bibliothèque math pour utiliser la fonction logarithme. from math import log
p = int(input('seuil (puissance négative de 10): '))
n = 0
u = 1
while u >= 10**(-p):
u = u - log(1 + u)
n = n + 1
print("N = ", n)
b. Cette dernière question a dû être supprimée car terrifiante pour de simples calculatrices.
Exercice Suite Et Logarithme Au
\ \lim_{x\to+\infty}\sqrt{4x+1}\ln\left(1-\frac{\sqrt{x+1}}{x+2}\right)\\
\displaystyle \mathbf 7. \ \lim_{x\to+\infty}\exp\left(\frac1{x^2}\right)-
\exp\left(\frac{1}{(x+1)^2}\right)
&&\displaystyle \mathbf 8. \ \lim_{x\to 0}\left(\frac{x}{\sin x}\right)^{\frac{\sin x}{x-\sin x}}\\\displaystyle \mathbf 9. \ \lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos x)\arctan x}{x\tan x}
Enoncé Comparer les fonctions suivantes:
$x\ln x$ et $\ln(1+2x)$ au voisinage de 0;
$x\ln x$ et $\sqrt{x^2+3x}\ln(x^2)\sin x$ au voisinage de $+\infty$;
Enoncé Montrer que
$$\sum_{k=1}^n k! \sim_{+\infty} n!. $$
Comparaisons théoriques
Enoncé Est-il vrai que si $u\sim_a v$, alors $u$ et $v$ ont le même signe au voisinage de $a$? Enoncé Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies au voisinage d'un réel $a$ ou de $a=\pm\infty$. Exercice suite et logarithme en. Montrer que
$e^f\sim_a e^g\iff \lim_a(f-g)=0$. A-t-on $f\sim_a g\implies e^f\sim_a e^g$? Enoncé Soient $f, g:\mathbb R\to\mathbb R$. On suppose que $f\xrightarrow{+\infty} +\infty$. On suppose que $g=_{+\infty}o(f)$.
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