Introduction: Les intégrales impropres sont partout, à la fois en probabilité et en analyse, aussi bien en maths EMLyon qu'en maths HEC. C'est pourquoi vous devez devenir un champion du calcul d'intégrale si vous voulez performer aux concours. Cet article n'est pas un cours à proprement parler, je présuppose que le cours de votre professeur est déjà très bien mais que vous cherchez ici plus des méthodes ou des astuces pour être plus efficace devant vos copies. Et c'est justement ce que nous allons faire! Je vous assure que si vous maîtrisez toutes les méthodes présentées dans cet article et que vous connaissez parfaitement le cours de votre professeur, alors vous n'aurez plus de problème avec les intégrales impropres. Integrale improper cours du. N'hésitez pas à faire des exercices chez vous avec cet article sous les yeux, tout y est! I) Définition Une intégrale est dite impropre lorsque une des bornes est + ou – l'infini, ou si la fonction intégrée n'est pas continue sur l'intervalle d'intégration. II) Astuce n°1: Calcul classique Avant toute chose: La première étape avant de montrer une convergence ou de calculer une intégrale impropre, c'est de donner le domaine de continuité de la fonction intégrée.
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Théorème: Si $f$ est intégrable sur $I$, alors $\int_I f(t)dt$ converge. Si $f$ et $g$ sont intégrables sur $I$, alors $f+g$ est intégrable sur $I$ et on a
$$\int_I |f+g|\leq \int_I |f|+\int_I |g|. $$
Si $f$ est continue sur $I$, intégrable et positive, alors
$$\int_I |f(t)|dt=0\implies f\equiv 0. $$
Les deux propriétés précédentes entrainent que, si on note $\mathcal E(I)$ l'ensemble des fonctions continues et intégrables de $I$ dans $\mathbb K$,
alors $\|f\|_1=\int_I |f(t)|dt$ est une norme sur $\mathcal E(I)$. Integrale improper cours en. Théorème (critères d'intégrabilité par comparaison):
Soit $I=[a, b[$ et $f, g:I\to\mathbb R$ continues par morceaux. si $0\leq f\leq g$ alors l'intégrabilité de $g$ sur $I$ implique celle de $f$;
si $f(x)\sim_b g(x)$ et si $f$ garde un signe constant au voisinage de $b$, l'intégrabilité de $g$ sur $I$ est équivalente à celle de $f$. Le premier point du théorème précédent s'applique en particulier si $f(x)=_b O\big(g(x)\big)$ ou si $f(x)=_b o\big(g(x)\big)$. Corollaire (comparaison à des intégrales de Riemann): Soit $f:[a, +\infty[\to\mathbb R$ continue par morceaux.
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Si le majorant ou le minorant est donné et ne comporte pas le symbole d'intégration, on essaiera de le faire apparaître avec, le plus souvent les mêmes bornes et on sera alors ramené à comparer les fonctions. Dans le cas d'intégrale de fonction de signe non constant, le plus souvent le premier pas du raisonnement consiste à écrire:
$$\left|\dint_a^b f(t)dt\right|\leq \dint_a^b |f(t)|dt$$
après s'être assuré de la convergence de $\dint_a^b |f(t)|dt$.
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Il y a également un grand nombre d'exercices très classiques qui ne sont pas du cours mais qu'il faut connaître ou au moins reconnaître. Vous les trouverez dans ce chapitre. Certains d'entre vous n'ont pas encore travaillé en cours les équivalences et les négligeabilités. Vous trouverez donc des exercices et automatismes spécifiques pour démontrer la convergence sans utiliser ces méthodes.
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Alors
si $\int_a^b g(t)dt$ converge, alors $\int_a^b f(t)dt$ converge;
si $\int_a^b f(t)dt$ diverge, alors $\int_a^b g(t)dt$ diverge. Corollaire
Soit $I=[a, b[$ et $f, g:I\to\mathbb R$ continues par morceaux, positives ou nulles, telles que $f\sim_b g$. Alors
$\int_a^b f(t)dt$ et $\int_a^b g(t)dt$ sont de même nature. Théorème (intégrales de Riemann):
L'intégrale $\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha}$ est convergente si et seulement si $\alpha>1$. Prépa+ | Intégrales Impropres - Maths Prépa ECT 1. L'intégrale $\int_a^b \frac{dx}{(x-a)^\alpha}$ est convergente si et seulement si $\alpha<1$. Fonctions intégrables
On dit que $f$ est intégrable sur $I=[a, b[$ ou que $\int_If$ est absolument convergente si
$\int_I|f|$ converge. Théorème: Si $f$ est intégrable sur $I$, alors $\int_I f(t)dt$ converge. Corollaire:
Soit $I=[a, b[$ et $f, g:I\to\mathbb R$ continues par morceaux avec $g\geq 0$
et $f(t)=_b o\big(g(t))$. Si $\int_a^b g(t)dt$ converge, alors $f$ est intégrable sur $[a, b]$. En particulier, $\int_a^b f(t)dt$ converge. Intégration par parties et changement de variables
Théorème (changement de variables): Soit $f$ une fonction continue sur $]a, b[$ et $\varphi:]\alpha, \beta\to]a, b[$ bijective, strictement croissante et de classe $\mathcal C^1$, les intégrales $\int_a^b f (t)dt$ et $\int_\alpha^\beta f\circ\varphi(u)\varphi'(u)du$ sont de même nature et égales en cas de convergence.
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