1. Suites arithmétiques
Définition
On dit qu'une suite ( u n) \left(u_{n}\right) est une suite arithmétique s'il existe un nombre r r tel que, pour tout n ∈ N n\in \mathbb{N}:
u n + 1 = u n + r u_{n+1}=u_{n}+r
Le réel r r s'appelle la raison de la suite arithmétique. Montrer qu'une suite est arithmétique - Tle - Méthode Mathématiques - Kartable. Remarque
Pour démontrer qu'une suite ( u n) \left(u_{n}\right) est arithmétique, on pourra calculer la différence u n + 1 − u n u_{n+1} - u_{n}. Si on constate que la différence est une constante r r, on pourra affirmer que la suite est arithmétique de raison r r.
Exemple
Soit la suite ( u n) \left(u_{n}\right) définie par u n = 3 n + 5 u_{n}=3n+5. u n + 1 − u n = 3 ( n + 1) + 5 − ( 3 n + 5) u_{n+1} - u_{n}=3\left(n+1\right)+5 - \left(3n+5\right) = 3 n + 3 + 5 − 3 n − 5 = 3 =3n+3+5 - 3n - 5=3
La suite ( u n) \left(u_{n}\right) est une suite arithmétique de raison r = 3 r=3
Propriété
Si la suite ( u n) \left(u_{n}\right) est arithmétique de raison r r alors pour tous entiers naturels n n et k k:
u n = u k + ( n − k) × r u_{n}=u_{k}+\left(n - k\right)\times r
En particulier:
u n = u 0 + n × r u_{n}=u_{0}+n\times r
Soit ( u n) \left(u_{n}\right) la suite arithmétique de raison 2 2 et de premier terme u 0 = 5 u_{0}=5.
Montrer Qu'une Suite Est Arithmétique - Tle - Méthode Mathématiques - Kartable
u n = u 0 × q n u_{n}=u_{0}\times q^{n}. Réciproquement, soient a a et b b deux nombres réels. La suite ( u n) \left(u_{n}\right) définie par u n = a × b n u_{n}=a\times b^{n} suite est une suite géométrique de raison q = b q=b et de premier terme u 0 = a u_{0}=a. u n + 1 = a × b n + 1 = a × b n × b = u n × b u_{n+1}=a\times b^{n+1}=a\times b^{n}\times b=u_{n}\times b
u 0 = a × b 0 = a × 1 = a u_{0}=a\times b^{0}=a\times 1=a
Soit ( u n) \left(u_{n}\right) une suite géométrique de raison q > 0 q > 0 et de premier terme strictement positif:
Si q > 1, la suite ( u n) \left(u_{n}\right) est strictement croissante
Si 0 < q < 1, la suite ( u n) \left(u_{n}\right) est strictement décroissante
Si q=1, la suite ( u n) \left(u_{n}\right) est constante
Remarques
Si le premier terme est strictement négatif, le sens de variation est inversé. Si la raison est strictement négative, la suite n'est ni croissante ni décroissante. Pour tout entier n ∈ N n \in \mathbb{N} et tout réel q ≠ 1 q\neq 1
1 + q + q 2 +... + q n = 1 − q n + 1 1 − q 1+q+q^{2}+... Démontrer qu une suite est arithmétique. +q^{n}=\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}
Cette formule n'est pas valable pour q = 1 q=1.
Les Suites Arithmético-Géométriques : Cours Et Exercices - Progresser-En-Maths
Donc, v n n'est pas une suite arithmétique.
Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique et préciser sa raison ainsi que son premier terme. Voir la solution Soit $n$ un entier naturel. $v_{n+1}=u_{n+1}-2$ d'après l'énoncé. $\qquad =(3u_n-4)-2$ d'après l'énoncé. $\qquad =3u_n-6$
$\qquad =3(u_n-2)$ en factorisant (on peut aussi remplacer $u_n$ par $v_n+2$)
$\qquad =3v_n$
Donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 3. De plus, le premier terme de cette suite est $v_0=u_0-2=10$. Niveau difficile
On considère la suite $(u_{n})$ telle que $u_0=7$ et définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\frac{2}{u_n-1}$. Par ailleurs, on considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\frac{u_n+1}{u_n-2}$. $v_{n+1}=\frac{u_{n+1}+1}{u_{n+1}-2}$ d'après l'énoncé. Les suites arithmético-géométriques : Cours et exercices - Progresser-en-maths. $\qquad =\frac{\frac{2}{u_n-1}+1}{\frac{2}{u_n-1}-2}$
$\qquad =\frac{(\frac{2}{u_n-1}+1)\times (u_n-1)}{(\frac{2}{u_n-1}-2)\times (u_n-1)}$ en multipliant numérateur et dénominateur par $u_n-1$
$\qquad =\frac{2+(u_n-1)}{2-2(u_n-1)}$
$\qquad =\frac{u_n+1}{-2u_n+4}$
$\qquad =\frac{u_n+1}{-2(u_n-2)}$
$\qquad =-\frac{1}{2}\times \frac{u_n+1}{u_n-2}$
$\qquad =-\frac{1}{2}\times v_n$
Donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $-\frac{1}{2}$.
Référence:
9781897552766
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Référence
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Collection
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Composition
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Matière
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