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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths
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maths seconde
chapitre 8 Équations de droites dans un repère
exercice corrigé nº432
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Un bateau traverse une rivière d'une largeur AB=100 mètres en partant du point A. La vitesse du courant (vitesse de l'eau) est de $V_0=2 m s^{-1}$, ce courant de droite à gauche sur la figure et est parallèle aux berges symbolisées par l'axe des abscisses et la droite d'équation $y=100$ (tracées en jaune sur la figure) et la vitesse du bateau est $V_b=5 m s^{-1}$.
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Ce qui montre bien que (AB) et (CD) sont parallèles car elles ont le même coefficient directeur mais que (AC= et (BD) ne le sont pas. Donc ABDC est un trapèze. c) I(0, 5; 3) et J(3, 5; -1, 5). donc m (IJ) = =- =m (AB) =m (CD). Donc (IJ) est parallèle à (AB) et (CD). d) K(1, 5; 1, 5). Il faut montrer que I, J, K et L sont alignés. L est défini par, donc D est le milieu de [AD] et L(2, 5; 0). équation de (IJ): y = - x + p; 3 = - 0, 5 + P soit p = 3, 75. ; donc (IJ): y = - x+3, 75.
et (KL): m (KL) = =-. y = - x + p' et = + p' soit p' = 3, 75. Exercices corrigés maths seconde équations de droites a pdf. donc (IJ) et (KL) sont confondues (même équation de droite). On en conclut que les points I, J, K et L sont alignés. a) A'(5, 5; -3); B'(1, 5; -3); C'(1; 0). b) (AA'): m (AA') = =. une équation de (AA'): 6x + 17y + 18 = 0. (BB'): m (BB') = = une équation de (BB'): -6x + 7y + 30 = 0. (CC'): m (CC') =; une équation de (CC'): 6x+5y - 6 = 0.
c) Les coordonnées du point G vérifient les équations de (AA') et (BB') donc sont solutions du système:
S
Soit:
G(8/3; -2)
d) 1 ère méthode: G est l'intersection de (AA') et (BB') qui sont deux médianes du triangle ABC; donc G est le centre de gravité du triangle et (CC') la troisième médiane donc G appartient à (CC').
exercice 1
Dans un repère (O, i, j), soit A(2; -1) et (-2; 2). a) Déterminer une équation de la droite d passant par A et de vecteur directeur. b) Tracer la droite d' d'équation x + y + 2 = 0.
c) Les droites d et d' sont-elles parallèles? exercice 2
Soit A(4; -3), B(7; 2) et. Déterminer les coordonnées de ainsi que des points M et N tels que et. exercice 3
On donne A(-2; 7), B(-3; 5) et C(4; 6). Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. exercice 4
Ecrire une équation de la droite (AB) où A(-1; -2) et B(-5; -4). exercice 5 - Vrai ou Faux? Exercices corrigés maths seconde équations de droites la. La droite d a pour équation 2x + 3y - 5 = 0.
a) d passe par l'origine du repère. b) d passe par A(2; 1/3). c) d a pour vecteur directeur (-1;). d) d a pour coefficient directeur. exercice 6
Soit la droite (d) d'équation. Déterminer une équation de la droite (d') passant par A(2; -1) et parallèle à (d). exercice 7
Déterminer un vecteur directeur de la droite d'équation:
a) 3x - 7y + 4 = 0
b) x = -y
c) 8y - 4x = 0
d) x = 4
e) y - 5 = 0
f) x = y
exercice 8
On considère les deux droites d et d' d'équations respectives 2x - y + 3 = 0 et 2x - y - 1 = 0.
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On donne les points suivants: $$ A(0; 2) \quad B(5; 7) \quad C(3; 7) \quad D(9; 3). $$ $1)$ Démontrer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes. $2)$ Trouver les équations réduites des droites $(AB)$ et $(CD). $ $3)$ Calculer les coordonnées de leur point d'intersection.
Équations cartésiennes
- tracer une droite définie par son équation cartésienne
- déterminer une équation cartésienne
- déterminer si deux droites sont parallèles
- déterminer une équation cartésienne d'une parallèle
infos:
| 20-25mn |
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Si $I$ appartient à $(AB)$, ses coordonnées vérifient l'équation réduite de $(AB)$ soit $y_I=-x_I+4$
Il faut aussi vérifier que $I$ appartient à $d$ avec l'équation réduite de $d$. $-x_I+4=-1+4=3=y_I$
donc $I \in (AB)$. Exercice sur les équations de droites - Maths 2onde. $2x_I+1=2\times 1+1=3$
donc $I\in d$. Infos exercice suivant: niveau
|
4-6 mn
série 2: Vecteur directeur d'une droite et équations cartésiennes
Contenu:
- coordonnée d'un vecteur directeur à partir d'une équation cartésienne
- vérifier qu'un point appartient à une droite
Exercice suivant: nº 412: Déterminer un vecteur directeur connaissant une équation cartésienne
- vérifier qu'un point appartient à une droite
L'essentiel pour réussir! Les droites du plan
Exercice 1
un exercice conforme au programme en vigueur à partir de septembre 2019
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, I, J). On considère les points $A(1;2)$ et $B(4;0)$. On considère le vecteur ${u}↖{→}$ de coordonnées: $(2;0, 5)$. 1. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB). 2. Déterminer une équation réduite de la droite $d_1$ passant par A et de vecteur directeur ${u}↖{→}$. Équations de droites Exercice corrigé de mathématique Seconde. 3. Déterminer une équation réduite de la droite $d_2$ passant par A et de pente $-2$
Rappel: la pente d'une droite est son coefficient directeur. 4. Donner un vecteur directeur de la droite $d_2$? 5. Tracer une figure dans laquelle apparaissent tous les objets géométriques de cet exercice. Solution...
Corrigé
1. $M(x;y)∈(AB)$ $⇔$ ${AM}↖{→}$ et ${AB}↖{→}$ sont colinéaires. Or ${AM}↖{→}$ a pour coordonnées: $(x-1;y-2)$. Et ${AB}↖{→}$ a pour coordonnées: $(4-1;0-2)=(3;-2)$. Donc: $M(x;y)∈(AB)$ $⇔$ $(x-1)×(-2)-3×(y-2)=0$ (le déterminant des 2 vecteurs colinéaires est nul)
Donc: $M(x;y)∈(AB)$ $⇔$ $-2x+2-3y+6=0$
Donc: $M(x;y)∈(AB)$ $⇔$ $-2x-3y+8=0$
Ceci est une équation cartésienne de la droite (AB).
La loi accorde ainsi aux journalistes de nouvelles protections en cas de perquisition. Ces garanties ne sont plus limitées aux locaux des entreprises de presse mais sont étendues à leur domicile et à leur véhicule. Les journalistes peuvent s'opposer à toute saisie et faire trancher ces contestations par le juge des libertés et de la détention. Enfin, le texte instaure un équilibre entre la protection des sources et les nécessités de l'ordre public. Cedh niemietz contre allemagne femme. La loi encadre l'intervention de l'autorité judiciaire qui ne peut porter atteinte au secret des sources que lorsqu'un intérêt impérieux l'impose. Le secret ne peut donc être levé qu'à titre exceptionnel, si la nature et la particulière gravité du crime ou du délit le justifient et que cela est nécessaire à l'enquête. Dans des affaires récentes mettant en cause la jurisprudence française, la Cour EDH [ 2] a eu à se prononcer sur la violation de la liberté d'expression des journalistes. Ces derniers arguaient de leur liberté d'expression et de la protection du secret de leurs sources pour justifier de leur violation de la vie privée des personnes concernées.
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63. Si toute menace présumée contre la vie n'oblige pas les autorités, au regard de la Convention, à prendre des mesures concrètes pour en prévenir la réalisation, il en va autrement, notamment, lorsqu'il est établi que lesdites autorités savaient ou auraient dû savoir sur le moment qu'un ou plusieurs individus étaient menacés de manière réelle et immédiate dans leur vie, et qu'elles n'ont pas pris, dans le cadre de leurs pouvoirs, les mesures nécessaires et suffisantes pour pallier ce risque (v. mutatis mutandis, l'arrêt Osman c/ Royaume-Uni du 28 octobre 1998, Rec. 1998-VIII, p. 3159, § 116). 64. A la lumière de ces principes, la Cour se doit d'abord de préciser que la violation du droit à la vie est envisageable en relation avec des questions environnementales, liées non seulement aux domaines invoqués par le gouvernement (§ 60 ci-dessus; v. entre autres, les exemples fournis par les arrêts LCB précité, Guerra et autres c/ Italie du 19 février 1998, Rec. 1998-1, et Calvelli et Ciglio, précité; v. Cedh niemietz contre allemagne et la france. également, concernant les cas examinés sur le terrain de l'article 8 de la Convention, l'arrêt Botta c/ Italie du 24 février 1998, Rec.
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En RFA, l'Église jouit de très larges privilèges, sur la base du Concordat de Hitler et en violation du devoir de neutralité incombant à l'État. Dès lors, tout citoyen non chrétien de ce pays doit supporter des désavantages et des désagréments quotidiens. La RFA est notamment le seul État qui s'érige en collecteur de l'impôt ecclésial. Elle oblige les employeurs, chrétiens ou non, à verser l'impôt ecclésial pour le compte de leurs salariés chrétiens et à épargner de la sorte à l'Église du travail d'administration financière. ARRÊT NIEMIETZ c. ALLEMA. Depuis des années, [J. ] refuse avec courage et constance d'aider ainsi au financement de l'Église et s'arrange pour que ses salariés chrétiens paient l'impôt ecclésial sans son intervention. Cette tentative - dans un État qui range la séparation de l'Église et de l'État parmi ses principes fondamentaux - pour insister précisément sur cette séparation n'a pas seulement valu à [J. ] des tracasseries et ingérences incessantes de la part des pouvoirs publics, qui ont atteint leur paroxysme avec le recours du fisc à des mesures de contrainte, telle la saisie, pour recouvrer auprès de lui l'impôt ecclésial versé depuis longtemps déjà par son personnel; elle lui a en outre attiré ces poursuites pour prétendues insultes lorsqu'il a appelé ces manigances par leur nom.
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8) au motif que la mesure dénoncée concernait uniquement des activités professionnelles: la protection continuerait à jouer en faveur d'un individu dont les activités professionnelles et non professionnelles s'imbriqueraient à un point tel qu'il n'existerait aucun moyen de les dissocier. Jusqu'ici la Cour n'a du reste pas opéré pareille distinction: elle a constaté une ingérence dans la vie privée même quand des écoutes téléphoniques portaient aussi sur les communications commerciales (arrêt Huvig c. France du 24 avril 1990, série A n o 176-B, p. 41, par. 8, et p. 52, par. 25); de ce qu'une perquisition visait uniquement des activités commerciales, elle n'a pas tiré argument pour estimer l'article 8 (art. 8) inapplicable au titre de la "vie privée" (arrêt Chappell c. Royaume-Uni du 30 mars 1989, série A n o 152-A, pp. 12-13, par. 26, et pp. 21-22, par. 51). 30. CEDH, 18 juin 2002. Öneryildiz contre Turquie. N°48939/99. Cette affaire a été renvoyée devant la Grande Chambre - Persée. Quant au mot "home", figurant dans le texte anglais de l'article 8 (art. 8), on admet dans certains États contractants, dont l'Allemagne (paragraphe 18 ci-dessus), qu'il s'étend aux locaux professionnels.
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Plus d'infos (uniquement en anglais)... Visites officielles
Visite officielle en Norvège
Les 11 et 12 mai 2022, le Président Robert Spano s'est rendu en visite officielle en Norvège. À cette occasion, il a été reçu en audience par Son Altesse Royale Le Prince héritier Haakon de Norvège. Cedh niemietz contre allemagne pour. Durant cette visite, le Président Spano a également rencontré Jonas Gahr Støre, premier Ministre, Emilie Enger Mehl, ministre de la Justice, Eivind Vad Petersson, secrétaire d'État, ministère des Affaires étrangères, et il a eu une réunion de travail avec les juges de la Cour suprême de la Norvège, conduits par leur Présidente Toril Marie Øie. Il a aussi donné une conférence à l'université d'Oslo sur le thème The European Court of Human Rights responding to backlash, populism and challenges to the rule of Law. Le Président Spano était accompagné de Arnfinn Bårdsen, juge élu au titre de la Norvège, et de Marialena Tsirli, Greffière de la Cour....
Robert Spano et le Prince héritier Haakon de Norvège
Cour suprême de Norvège
Robert Spano et Marialena Tsirli
MarialenaTsirli, Robert Spano, Toril Marie Øie et Arnfinn Bårdsen
Robert Spano
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Arrêts et décisions rendus
Arrêts et décisions à venir
Il s'était aussi beaucoup engagé - sans pourtant y avoir jamais adhéré - dans le groupe de travail anticlérical de celle-ci, lequel cherchait à réduire l'influence de l'Église. Jusqu'à la fin de 1985, le courrier destiné à la Bunte Liste - qui avait pour unique adresse postale le numéro de boîte indiqué dans la lettre au juge Miosga - avait parfois été distribué au cabinet (Bürogemeinschaft) du requérant et de l'un de ses confrères; ce dernier avait lui aussi milité pour le parti et l'avait défendu dans l'exercice de sa profession. 9. Le 13 janvier 1986, le président du tribunal régional (Landgericht) de Munich I invita le parquet (Staatsanwaltschaft) de Munich à ouvrir des poursuites pénales contre Klaus Wegner pour insultes contrevenant à l'article 185 du code pénal. Cour européenne des droits de l'homme - CEDH, ECHR, actualités, informations, communiqués de presse. On chercha en vain à délivrer une citation à l'intéressé. L'associé du requérant refusa de fournir le moindre renseignement sur Klaus Wegner, ou sur son lieu de résidence, et les autres tentatives pour identifier le suspect échouèrent.