Cours de Première sur le sens de variation d'une suite Définitions La suite u est croissante si, et seulement si, pour tout n, La suite u est strictement croissante si, et seulement si, pour tout n, La suite u est décroissante si, et seulement si, pour tout n, La suite u est strictement décroissante si, et seulement si, pour tout n, La suite u est constante si, et seulement si, pour tout n, Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante, soit constante. Méthodes pour étudier le sens de variation d'une suite Méthode 1 On étudie le signe de la différence: Si pour tout n,, la suite u est croissante. Si pour tout n,, la suite u est décroissante. Méthode 2 Si la suite u est définie à partir d'une fonction f connue, c'est-à-dire que, pour tout entier n,, alors elle a le même sens de variation que f sur. Méthode 3 Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, on compare le quotient au nombre: Si pour tout n,, alors la suite u est croissante. Si pour tout n,, alors la suite u est décroissante.
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- Couronne de l'avent | alsaciennecreatives
- Couronne de l'avent - Ballade de noël en Alsace - Boiseline
- Couronnes de l'Avent et marché de Noel - Alsaciens de l'Anjou
Sens De Variation D Une Suite Exercice Corrigé Un
Exercice 1
On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies pour tout $n\in \N$ par $u_n=5\sqrt{n}-3$ et $v_n=\dfrac{-2}{n+1}+1$. Calculer les deux premiers termes de chaque suite. $\quad$
Calculer le quinzième terme de chaque suite. Étudier le sens de variation des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$. Correction Exercice 1
$u_0=5\sqrt{0}-3=-3$ et $u_1=5\sqrt{1}-3=2$
$v_0=\dfrac{-2}{0+1}+1=-1$ et $v_1=\dfrac{-2}{1+1}+1=0$
Comme le premier terme de chaque suite commence au rang $0$ on calcule:
$u_{14}=5\sqrt{14}-3$ et $v_{14}=\dfrac{-2}{15}+1=\dfrac{13}{15}$
$\begin{align*} u_{n+1}-u{n}&=5\sqrt{n+1}-3-\left(5\sqrt{n}-3\right)\\
&=5\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\\
&>0\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante. $\begin{align*}v_{n+1}-v_n&=\dfrac{-2}{n+2}+1-\left(\dfrac{-2}{n+1}+1\right)\\
&=\dfrac{-2}{n+2}+\dfrac{2}{n+1}\\
&=\dfrac{-2(n+1)+2(n+2)}{(n+1)(n+2)}\\
&=\dfrac{2}{(n+1)(n+2)}\\
&>0
\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc croissante.
Sens De Variation D Une Suite Exercice Corrigés
Pour la justification il faut comparer le résultat de la différence $u_{n+1}-u_n$ à 0 suivant les valeurs de $n$ puis déduire de cette comparaison le sens de variation de la suite $u_n$. 3- Utiliser la calculatrice en calculant de proche en proche et retenir le terme pour lequel le résultat trouvé est supérieur à 7. Calcul des termes d'une suite par un programme python. 1- Se baser sur l'écriture de la suite pour préciser si elle est définie par une formule explicite ou par récurrence. 2- Compléter les pointillées en tenant compte du premier terme et de l'expression de la suite $u_n$. 3- Dans la question précédente le bout de code qui a été donné est la définition d'une fonction permettant de calculer les valeurs des termes de la suite $u_n$ donc trouver l'instruction à donner en tenant compte de la fonction. Sens de variation d'une suite à partir de l'étude d'une fonction
1- La fonction $f$ est une fonction polynôme, il est facile de trouver sa fonction dérivée. 2- Pour déterminer le signe de $f'$ il faut résoudre l'équation $f'(x)=0$ en utilisant le discriminant; faire le tableau de signe de la fonction $x\mapsto f'(x)$ puis déduire de ce tableau le signe de $f'$.
Sens De Variation D Une Suite Exercice Corrigé De
Correction Exercice 4
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{u_n}{n+2}-u_n \\
&=\dfrac{u_n}{n+2}-\dfrac{(n+2)u_n}{n+2}\\
&=\dfrac{-(n+1)u_n}{n+2}\\
On peut modifier l'algorithme de cette façon:
$\quad$ $i$, $n$ et $u$ sont des nombres
Initialisation:
$\quad$ Saisir $n$
Traitement:
$\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n$
Sortie:
$\quad$ Afficher $u$
Exercice 5
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\dfrac{1}{9^n}$. Etudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$. Déterminer un entier $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n \pg n_0$, $u_n\pp 10^{-3}$. Compléter l'algorithme ci-dessous, pour qu'il donne le plus petit entier $n_0$ tel que $u_n \pp 10^{-80}$. $\quad$ $i$ prend la valeur $0$
$\quad$ $u$ prend la valeur $\ldots\ldots\ldots$
$\quad$ Tant que $\ldots\ldots\ldots$
$\qquad$ $i$ prend la valeur $i+1$
$\qquad$ $u$ prend la valeur $\ldots\ldots\ldots$
$\quad$ Fin Tant que
Sortie
$\quad$ $\ldots \ldots \ldots$
En programmant l'algorithme sur votre calculatrice, déterminer l'entier $n_0$.
Sens De Variation D Une Suite Exercice Corrige Les
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Exercice 2
On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définie par:
$\begin{cases} u_0=1\\u_{n+1}=-{u_n}^2+u_n-1\end{cases}$ et $\begin{cases}v_1=5\\v_{n+1}=v_n+\dfrac{2}{n}\end{cases}$. Calculer les quatre premiers termes de ces deux suites. Représenter graphiquement ces quatre premiers termes sur un même graphique. À l'aide de la calculatrice, calculer $u_{10}$ et $v_{10}$ (on pourra donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près). Correction Exercice 2
$u_0=1$
$u_1=-1^2+1^2-1=-1$
$u_2=-(-1)^2+(-1)-1=-3$
$u_3=-(-3)^2+(-3)-1=-13$
$v_1=5$
$v_2=5+\dfrac{2}{1}=7$
$v_3=7+\dfrac{2}{2}=8$
$v_4=8+\dfrac{2}{3}=\dfrac{26}{3}$
A l'aide de la calculatrice on trouve $u_{10}\approx -7, 47\times 10^{144}$ et $v_{10}\approx 6, 66$
$\begin{align*}u_{n+1}-u_n&=-{u_n}^2+u_n-1-u_n\\
&=-{u_n}^2-1\\
&<0\end{align*}$. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante. $\begin{align*}v_{n+1}-v_n&=v_n+\dfrac{2}{n}-v_n\\
&=\dfrac{2}{n}\\
&>0\end{align*}$. Exercice 3
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par $u_n=\displaystyle \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{i^2}$.
Sens De Variation D Une Suite Exercice Corrigé Livre Math 2Nd
On calcule, à la calculatrice, $u_n$ pour les premières valeurs de $n$. $$\begin{array}{|*{11}{>{\ca}p{0. 8cm}|}}
\hline
n &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 & \dots\\\hline
u_n &1 &1, 8&2, 44 &2, 95 &3, 36 &3, 69 &3, 95 &4, 16 &4, 33 & \dots \\\hline
\end{array}$$
$$\begin{array}{|*{11}{>{\ca}p{0. 8cm}|}}\hline
n &\dots &20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 \\\hline
u_n &\dots &4, 95 &4, 96 &4, 97 &4, 976 &4, 981 &4, 985 &4, 988 &4, 990 &4, 992 \\\hline
La suite $\left(u_n\right)$ semble croissante et semble converger vers 5. Soit $\mathcal{P_n}$ la propriété $u_n = 5 - 4 \times 0, 8^n$. Initialisation: Pour $n = 0$, $u_0 = 1$ et $5 - 4\times 0, 8^{0} = 5 - 4 = 1$. Donc la propriété $\mathcal{P_0}$ est vérifiée. Hérédité: Soit $n$ un entier naturel quelconque. On suppose que la propriété est vraie pour le rang $n$ c'est-à-dire $u_n=5-4\times 0, 8^n$ $($ c'est l'hypothèse de récurrence$)$, et on veut démontrer qu'elle est encore vraie pour le rang $n+1$. $u_{n+1} = 0, 8 u_n +1$. Or, d'après l'hypothèse de récurrence $u_n=5-4\times 0, 8^{n}$; donc:
$u_{n+1} = 0, 8 \left ( 5 - 4\times 0, 8^n \right) +1
= 0, 8\times 5 - 4 \times 0, 8^{n+1} +1
= 4 - 4 \times 0, 8^{n+1} +1
= 5 - 4 \times 0, 8^{n+1}$
Donc la propriété est vraie au rang $n+1$.
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La Couronne de l'Avent, épisode 2
La Couronne de l'Avent est une tradition chrétienne symbolisant l'Avent. Selon certaines sources, la couronne de l'Avent est une tradition pré-chrétienne issue d'Allemagne. Elle devient chrétienne dès le XVIe siècle. Selon d'autre sources, elle fut inventée par le pasteur luthérien Johann Heinrich Wichern (1808-1884). Éducateur et théologien de Hambourg, il fonde la Mission intérieure d'Allemagne. Cette institution recueillait des enfants très pauvres dans le Rauhe Haus près de Hambourg, une vieille ferme et il s'occupait d'eux. Couronne de l'avent alsacienne. Comme, pendant le temps de l'Avent, ils lui demandaient toujours quand Noël allait enfin arriver, il fabriqua en 1839 une couronne de bois, avec vingt petits cierges rouges et quatre grands cierges blancs. Chaque matin, un petit cierge de plus était allumé et, à chaque dimanche d'Avent, un grand cierge. Depuis 1860, l'année où est née officiellement la couronne de l'Avent[réf. nécessaire], on utilise des branches de sapin; depuis le début du XXe siècle, elle est devenue en Allemagne une des traditions de Noël.
Noël, Une Tradition Alsacienne
Premier chapitre: l'AVENT
Avec les fêtes de fin d'année, je vous emmène en Alsace pour découvrir les traditions de Noël. Il y a certaines coutumes que vous connaissez déjà et je vous en expliquerai l'origine. D'autres, par contre, sont vraiment curieuses! Accrochez-vous bien à votre canapé, je vous garantis du sensationnel! Couronne de l'avent | alsaciennecreatives. Venez avec moi dans le monde des traditions et des mystères de Noël en Alsace. Voici le décor:
L'Alsace se situe à l'Est de la France entre 2 montagnes moyennes. Les Vosges pour le côté français et la Forêt-Noire pour le côté allemand. Un paysage riche et varié, des montagnes, une plaine, des vignobles et une frontière matérialisée par le Rhin. L'histoire de l'Alsace est tumultueuse comme de nombreuses régions frontalières, ponctuée par de nombreuses guerres et des changements de nationalité fréquents. La culture et les traditions alsaciennes se sont construites autour de ces diverses influences. Il en reste une identité singulière et des traditions encore bien vivantes aujourd'hui.
Couronne De L'avent | Alsaciennecreatives
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Couronne De L'Avent - Ballade De Noël En Alsace - Boiseline
Aux enfants sages, Saint Nicolas y déposera du pain d'épices et des oranges, alors que le père Fouettard garnira les chaussures de cailloux des enfants pour punir les enfants qui ne le sont pas. Selon la légende, 3 petits enfants perdus seraient venus demander l'hospitalité à un boucher (le père Fouettard). Ce dernier les aurait découpés en morceaux pendant leur sommeil et mis dans un saloir pour les manger. Sept en plus tard, Saint Nicolas venant à passer demande au boucher ce qu'il a de si bon dans son saloir. Noël, une tradition alsacienne. Le boucher terrorisé avoue son crime. Saint Nicolas ouvre alors le saloir et libère les 3 petits enfants, leur rendant la vie. Les Bredeles (ou bredala, bredle), une tradition bien alsacienne à l'époque de noël: les petits gâteaux de noël, Winachtsbredele en alsasien. Ces petits gâteaux sont confectionnés dès le mois de novembre. La tradition veut qu'ils soient conservés dans une boite en métal et dégustés le soir du 24 décembre. On en fabrique aussi pour ensuite orner le sapin de noël.
Couronnes De L'avent Et Marché De Noel - Alsaciens De L'anjou
Célébrez la joie des fêtes avec nos élégantes décorations de Noël. Découvrez dès aujourd'hui une magnifique sélection de couronnes de l'Avent, de charmantes décorations de Noël et d'incontournables sapins de Noël artificiels chez Balsam Hill.
Les marchés de Noël, véritables spécificités alsaciennes, débutent en même temps que commence l'avent. Le plus célèbre des marchés est celui de Strasbourg, il est connu dans le monde entier et attire chaque année des millions de visiteurs. Tout au long du mois de décembre, il propose un voyage hors du temps, un émerveillement pour petits et grands. Couronne de l'avent - Ballade de noël en Alsace - Boiseline. Strasbourg s'habille de lumière et offre au gré de ses animations toute la magie de noël. Une multitude de chalets (plus de 300) jalonnent ses marchés offrant un large choix de décorations et de produits régionaux d'Alsace ou artisanaux, ainsi qu'une pléiade d'idées cadeaux. Le Christkendlmärik, en alsacien, existe à Strasbourg depuis le Moyen Age. Il s'agissait au départ du marché de la Saint Nicolas, une foire animée destinée à la distribution des cadeaux aux enfants. Le 22 décembre 1570, un décret municipal décida de dédier cette foire de la Saint Nicolas à l'Enfant Jésus régnant sur tous les chrétiens, Christkindel en alsacien. Et depuis, a lieu tous les ans pour le bonheur de tous, le Christkindelmärik.
La tradition des bredeles est très ancienne, les plus anciens moules utilisés datent du 14ème siècle. Les formes de ces petits gâteaux sont diverses et variées, tout comme leurs recettes. On dit qu'il y a autant de recettes que de familles alsaciennes.