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Exercice 3
Dans chacun des cas, fournir l'expression de la dérivée de la fonction dont l'expression algébrique est fournie, en utilisant la dérivée d'un polynôme.
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Cours de mathématiques sur la dérivation d'une y retrouvera la dérivée en un point et la signification concrète du nombre dérivée et de l'équation de la tangente en un dérivée d'une somme, d'un produit et d'un dérivée et le sens de variation d'une que les dérivées des fonctions usuelles. dérivé – Fonction dérivée – tangente à une courbe
f est une fonction définie sur un intervalle I. La courbe (C) ci-dessous est la représentation graphique de f dans un repère orthonormal. M et N sont deux points de (C) d'abscisses respectives et où. M et N ont donc pour coordonnées: et c'est à dire:. On a donc: soit
La droite (MN) sécante à (C) a donc pour coefficient directeur:. Si la courbe (C) possède en M une tangente de coefficient directeur d, alors lorsque le point N se rapproche de M, c'est à dire lorsque x tend vers a, ou, ce qui revient au même, lorsque h tend vers 0,
les sécantes (MN) vont atteindre une position limite qui est celle de la tangente (MP) en M à (C). 1ère S: la fonction dérivée exercices QCM. Ceci peut alors se traduire à l'aide des coefficients directeurs par:
c'est à dire:.
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On a donc:. Si nous appelons, la fonction définie pour et par:,
on a: et, ce qui s'écrit aussi:. Réciproquement, s'il existe un réel d et une fonction telle que, pour tout et, on ait: avec,
on en déduit que: et donc que:. Ceci nous permet donc de donner les trois définitions équivalentes:
Définition 1:
Si f est une fonction définie sur un intervalle et si. Lorsqu'il existe un nombre réel d tel que, pour tout réel h proche de 0, on ait
On dit que la fonction f est dérivable en a et que est le nombre dérivé de f en a. Définition 2:
Si f est une fonction définie sur un intervalle I et si. Exercice de math dérivée 1ere s mode. Lorsqu'il existe un nombre réel d tel que, pour tout réel et proche de a, on ait:
II. Fonction dérivable sur un intervalle I. Fonction dérivée d'une fonction dérivable sur I
Définition:
On dit que f est dérivable sur un intervalle I lorsqu'elle est dérivable en tout point de I. Lorsque f est dérivable sur un intervalle I, la fonction qui à tout associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f sur I.
Exercice 1
Dans chacun des cas, fournir l'expression de la dérivée de la fonction dont l'expression algébrique est fournie, en utilisant la dérivée de $u+v$. $f(x)=x^2+1$
$\quad$
$g(x)=x+\sqrt{x}$
$h(x)=x^3+x^2$
$i(x)=x^3+x+\dfrac{1}{x^2}$
$j(x)=\dfrac{4x+1}{x}$
$k(x)=x^2+x+4+\dfrac{1}{x}$
Correction Exercice 1
On a $(u+v)'=u'+v'$. $u(x)=x^2$ et $v(x)=1$. Donc $u'(x)=2x$ et $v'(x)=0$. Par conséquent $f'(x)=2x$. $u(x)=x$ et $v(x)=\sqrt{x}$. Donc $u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
Par conséquent $g'(x)=1+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$u(x)=x^3$ et $v(x)=x^2$
Donc $u'(x)=3x^2$ et $v'(x)=2x$. Par conséquent $h'(x)=3x^2+2x$. Dérivée d'une fonction : cours en première S. $i(x)=x^3+x+\dfrac{1}{x^2}=x^3+x+x^{-2}$
$u(x)=x^3$, $v(x)=x$ et $w(x)=x^{-2}$. Donc $u'(x)=3x^2$, $v'(x)=1$ et $w'(x)=-2x^{-3}$ (utilisation de la dérivée de $x^n$ avec $n=-2$). Par conséquent
$\begin{align*} i'(x)&=3x^2+1-2x^{-3}\\
&=3x^2+1-\dfrac{2}{x^3}
\end{align*}$
$\phantom{j(x)}=\dfrac{4x}{x}+\dfrac{1}{x}$
$\phantom{j(x)}=4+\dfrac{1}{x}$
$u(x)=4$ et $v(x)=\dfrac{1}{x}$.
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