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Nombre dérivé et taux de variation
Soient un réel non nul tel que et le point de d'abscisse
En particulier:
Le nombre est appelé taux de variation de entre et
Sur la figure ci-contre, le point a pour coordonnées et le point a pour coordonnées
Le coefficient directeur de la droite est donc: autrement dit, le coefficient directeur est
Le nombre dépend de
Le taux de variation s'appelle également le taux d'accroissement entre et
Que se passe-t-il lorsque se rapproche de plus en plus du point autrement dit, lorsque devient de plus en plus proche de? On dit que est dérivable en lorsque tend vers un nombre réel quand prend des valeurs proches de Ce réel est appelé nombre dérivé de en et est noté
On écrit alors:
Quand est proche de on dit que « tend vers ». Calculer dans ces conditions revient à chercher la limite de
notée si
elle existe. Les nombres dérives sectaires. 1. Soit une fonction affine
Alors et
Ainsi, pour tout,
2. Soit définie sur par
Pour et
donc est dérivable en et
3. Soit la fonction définie sur par
Pour donc
On obtient deux limites différentes pour quand tend vers donc n'est pas dérivable en
Les Nombres Dérivés Des
« le nombre f ( x 0 + h) − f ( x 0) h \frac{f\left(x_{0}+h\right) - f\left(x_{0}\right)}{h} a pour limite un certain réel l l lorsque h h tend vers 0 » signifie que f ( x 0 + h) − f ( x 0) h \frac{f\left(x_{0}+h\right) - f\left(x_{0}\right)}{h} se rapproche de l l lorsque h h se rapproche de 0. Une définition plus rigoureuse de la notion de limite sera vue en Terminale. Calculer le nombre dérivé (1) - Première - YouTube. On peut également définir le nombre dérivé de la façon suivante:
f ′ ( x 0) = lim x → x 0 f ( x) − f ( x 0) x − x 0 f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f\left(x\right) - f\left(x_{0}\right)}{x - x_{0}}
(cela correspond au changement de variable x = x 0 + h x=x_{0}+h)
Exemple
Calculons le nombre dérivé de la fonction f: x ↦ x 2 f: x \mapsto x^{2} pour x = 1 x=1. Ce nombre se note f ′ ( 1) f^{\prime}\left(1\right) et vaut:
f ′ ( 1) = lim h → 0 ( 1 + h) 2 − 1 2 h = lim h → 0 2 h + h 2 h = lim h → 0 2 + h f^{\prime}\left(1\right)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\left(1+h\right)^{2} - 1^{2}}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{2h+h^{2}}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}2+h
Or quand h h tend vers 0, 2 + h 2+h tend vers 2; donc f ′ ( 1) = 2 f^{\prime}\left(1\right)=2.
Les Nombres Dérivés Video
Pour calculer le coefficient directeur, nous ne connaissons qu'une formule:. Pour utiliser cette formule, nous avons besoin des coordonnées de deux points de la droite. Mais nous n'avons les coordonnées que d'un seul! C'est A(a, f(a)). Prenons donc un petit nombre h au hasard et introduisons le point B(a+h;f(a+h)). Nous pouvons maintenant calculer le coefficient directeur de la droite (AB). Les nombres dérivés des. Nous obtenons un résultat, mais bien sûr, cette droite (AB) n'est pas la tangente dont nous cherchions le coefficient directeur! Cependant, on remarque que plus h est proche de zéro, plus la droite verte se rapproche de la droite rouge, et plus le nombre c(h) que nous pouvons calculer est proche de f'(a). À partir de l'expression c(h) nous allons donc "faire tendre" h vers 0 et alors c(h) va "tendre vers" f'(a). On pourrait penser que pour calculer f'(a) il suffit donc de calculer c(h) puis remplacer h par zéro. Malheureusement, dans le magnifique mais terrible monde des mathématiques
tout n'est pas si simple et on ne peut pas toujours appliquer cette méthode.
[ Raisonner. ] Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. 1. « Pour tout réel, on suppose que le taux de
variation d'une fonction entre et est égal à Alors est dérivable en et le nombre
dérivé de en est égal à. Les nombres dérivés video. »
2. « Pour tout réel et strictement supérieur à, on suppose que le taux de variation d'une fonction entre et est égal à. Alors est dérivable en et »
3. « Pour tout réel non nul et différent de on suppose que la différence est égale à Alors est dérivable en et »