Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre. Une fonction tangente à la première bissectrice [ modifier | modifier le wikicode]
On considère la suite définie pour tout entier naturel n par:
et
Partie A: Étude de la fonction [ modifier | modifier le wikicode]
1. Donner une fonction définie sur telle que. 2. Étudier les variations de. 3. Démontrer que pour tout. 4. Donner l'équation de la tangente à la courbe représentative de en. Solution
1..
2. donc quand croît de à, croît de à puis, quand croît de à, croît de à. 3. est du signe de. 4. et donc la tangente au point a pour équation. Partie B: Étude de la suite [ modifier | modifier le wikicode]
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n:. 2. Exercices corrigés sur raisonnement et récurrence Maths Sup. Démontrer que est décroissante. 3. En déduire que converge et déterminer sa limite. 1. contient (initialisation) et, d'après la question A2, est stable par (hérédité). 2. d'après la question précédente et la question A3. 3. est décroissante et minorée par 1 donc converge vers une limite.
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Comme 1 ⩽ u n ⩽ 2 1 \leqslant u_{n} \leqslant 2 la limite ne peut pas être égale à − 3 - 3 donc l = 1 l=1. En conclusion lim n → + ∞ u n = 1 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=1
Exercice Récurrence Suite 2017
On peut alors définir car. Conclusion: par récurrence, la propriété est vraie pour tout entier
4. Exercices confondus sur le raisonnement par récurrence en Terminale
Exercice 1 le raisonnement par récurrence en Terminale:
On dit qu'un entier est divisible par lorsqu'il existe tel que. Montrer que pour tout entier non nul, divise. Cet exercice est classique en arithmétique. Exercice 2 le raisonnement par récurrence en Terminale:
On dit que 6 divise lorsqu'il existe et que. Montrer que pour tout entier, 6 divise
Correction de l'exercice 1 sur le raisonnement par récurrence en Terminale:
Si, on note: divise
Initialisation: pour donc est vraie. Exercice récurrence suite 2. Hérédité: On suppose que est vraie pour un entier donné. Soit en notant, il existe tel que. On reconnaît et on utilise:
comme, alors divise. On a prouvé. Correction de l'exercice 2 sur le raisonnement par récurrence en Terminale:
Si, on note: 6 divise c. a. d. on peut trouver tel que
Initialisation: Par hypothèse, donc est vraie. Il existe tel que
On note et
est le produit de deux entiers consécutifs, l'un est pair et l'autre impair, il est pair donc il peut s'écrire avec
donc 6 divise.
Soit la suite définie pour n > 0 n > 0 par u n = sin ( n) n u_{n}=\frac{\sin\left(n\right)}{n}. On sait que pour tout n n, − 1 ⩽ sin ( n) ⩽ 1 - 1\leqslant \sin\left(n\right)\leqslant 1 donc − 1 n ⩽ sin ( n) n ⩽ 1 n - \frac{1}{n}\leqslant \frac{\sin\left(n\right)}{n}\leqslant \frac{1}{n}. Or les suites ( v n) \left(v_{n}\right) et ( w n) \left(w_{n}\right) définie sur N ∗ \mathbb{N}^* par v n = − 1 n v_{n}= - \frac{1}{n} et w n = 1 n w_{n}=\frac{1}{n} convergent vers zéro donc, d'après le théorème des gendarmes ( u n) \left(u_{n}\right) converge vers zéro. Soient deux suites ( u n) \left(u_{n}\right) et ( v n) \left(v_{n}\right) telles que pour tout n ∈ N n \in \mathbb{N}, u n ⩾ v n u_{n}\geqslant v_{n}. Si lim n → + ∞ v n = + ∞ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}v_{n}=+\infty, alors lim n → + ∞ u n = + ∞ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=+\infty
Une suite croissante et majorée est convergente. Exercice récurrence suite download. Une suite décroissante et minorée est convergente. Ce théorème est fréquemment utilisé dans les exercices
Ce théorème permet de montrer qu'une suite est convergente mais, à lui seul, il ne permet pas de trouver la valeur de la limite l l
Un cas particulier assez fréquent est celui d'une suite décroissante et positive.
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L'activité de ce métier s'exerce au sein d'entreprises de transport, d'agences de tourisme, de collectivités, d'administrations, de l'armée, en contact avec une clientèle diversifiée (passagers transport en commun, scolaires, personnels d'entreprise,... ) et en liaison avec les personnels de la structure (personnel d'exploitation, responsable de ligne, contrôleur,... ). Elle peut s'exercer en horaires fractionnés, les fins de semaine, jours fériés, de nuit et impliquer un éloignement du domicile de plusieurs jours.