Puisque les variables k et j sont muettes (on peut les remplacer par n'importe quelle autre variable), cela nous permet de réaliser l'étape 8, c'est-à-dire d'annuler les termes (en les soustrayant), afin d'obtenir le résultat final dans l'étape 9! Cours sur les sommes de. J'espère que cet article vous a été utile; en tout cas, si vous avez besoin d'une astuce sur des formules, des dates ou autres, n'hésitez pas à nous demander: ICI! À propos Articles récents Éditeur chez JeRetiens Étudiant passionné par tout ce qui est relatif à la culture générale, à la philosophie, ainsi qu'aux sciences physiques! Les derniers articles par Adrien Verschaere ( tout voir)
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$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$. Structure d'espace vectoriel
On appelle espace vectoriel sur $\mathbb K$ (ou $\mathbb K$-espace vectoriel) un ensemble $E$ muni de deux lois:
une loi interne, notée $+$, telle que $(E, +)$ soit un groupe commutatif. L'élément nul est noté $0_E$. une loi externe, notée $\cdot$, qui est une application de $\mathbb K\times E$ dans $E$ vérifiant:
$\forall (\alpha, \beta)\in\mathbb K^2, \ \forall x\in E, \ (\alpha+\beta)\cdot x=\alpha \cdot x+\beta \cdot x$. $\forall \alpha\in\mathbb K, \ \forall (x, y)\in E^2, \ \alpha\cdot(x+y)=\alpha\cdot x+\alpha\cdot y$. $\forall (\alpha, \beta)\in\mathbb K^2, \ \forall x\in E, \ \alpha\cdot(\beta\cdot x)=(\alpha\beta)\cdot x$. $\forall x\in E, \ 1\cdot x=x$. Les éléments de $E$ sont appelés des vecteurs
et les éléments de $\mathbb K$ sont appelés des scalaires. Cours sur les sommes au. Exemples: $\mathbb K^n$, $\mathbb K[X]$, $\mathcal M_{n, p}(\mathbb K)$ sont des espaces
vectoriels. Si $A$ est un ensemble, l'ensemble $\mathcal F(A, \mathbb K)$ des fonctions de $A$ dans $\mathbb K$ est lui aussi
un espace vectoriel.
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Vous trouverez d'une part des fiches de cours, et également des fiches d'exercices. Pour ces dernières, la majorité d'entre-elles disposent d'une correction à laquelle vous pouvez accéder d'un simple clic en étant membre. Il en reste cependant encore quelques-unes pour lesquelles une correction n'est pas encore disponible. Revenez sur ces pages, des ajouts sont effectués fréquemment (vous pouvez également utiliser les flux RSS ou vous inscrire à la newletter du site pour ne rien louper à propos des ajouts de fiches que nous réalisons). Vous pouvez également participer en nous envoyant vos exercices (grâce à la section " Contribuez " disponible dans votre profil de membre du site) si vous voulez es voir figurer sur ces pages. Calculs de sommes (∑) avec changements d’indices. Si vous souhaitez consulter d'autres sites proposant des ressources pédagogiques et mathématiques, vous pouvez consulter la sélection des sites qui a été réalisée dans la rubrique dans l'annuaire de l'île des mathématiques. Vous pouvez aussi jeter un coup d'œil à ces dossiers traitant de thèmes ayant rapport avec les mathématiques:
7 à 10
1-1-18: Deleuze, L'image-temps, chap. 4 à 6
1-12-17: Deleuze, L'Image-temps, chap. 1 à 3
1-11-17: Deleuze, L'Image-mouvement, chap. 6 à 12
1-10-17: Deleuze, L'image-mouvement, chap. 1 à 5.
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Projections et symétries
Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires de $E$. On appelle projection (ou projecteur) sur $F$ parallèlement à $G$
l'application linéaire $p$ définie sur $E$ par $p(z)=x$ où $z\in E$ se décompose uniquement en $z=x+y$ avec $x\in F$ et $y\in G$. On a alors $\imv( p)=F$ et $\ker( p)=G$. Caractérisation des projections: Un endomorphisme $p\in\mathcal L(E)$ est une projection si
et seulement si $p\circ p=p$. L'application $p$ est alors la projection sur $\imv( p)$ parallèlement à $\ker( p)$. Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires de $E$. On appelle symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$
l'application linéaire $s$ définie sur $E$ par $s(z)=x-y$ où $z\in E$ se décompose uniquement en $z=x+y$ avec $x\in F$ et $y\in G$. On a alors $\ker( s-Id_E)=F$ et $\ker( s+Id_E)=G$. Fiches de mathématiques. Caractérisation des symétries: Un endomorphisme $s\in\mathcal L(E)$ est une symétrie si et seulement si $s\circ s=Id_E$. L'application $s$ est alors la symétrie par rapport à $\ker( s-Id_E)$ parallèlement à $\ker( s+Id_E)$.
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