exercice 1
La suite (u n) est une suite arithmétique de raison r.
1. On donne: u 5 = 7, r = 2. Calculer u 1, u 25 et u 100. 2. On donne: u 3 = 12, u 8 = 0. Calculer r, u 0 et u 18. 3. On donne: u 7 =, u 13 =. Exercice suite arithmétique corrigé pdf. Calculer u 0.
exercice 2
La suite (u n) est une suite géométrique de raison q. 1. On donne: u 1 = 3 et q = -2. Calculer u 4, u 8 et u 12. 2. On donne u 3 = 2 et u 7 = 18. Calculer u 0, u 15 et u 20.
exercice 3
(u n) est une suite arithmétique telle que u 2 + u 3 + u 4 = 15 et u 6 = 20. Calculer son premier terme u 0 et sa raison r.
exercice 4
Déterminer sept nombres impairs consécutifs dont la somme est 7 3.
exercice 5
Une suite arithmétique u de raison 5 est telle que u 0 = 2 et, étant un nombre entier,
Calculer. exercice 6
Déterminer quatre termes consécutifs d'une suite arithmétique sachant que leur somme est 12 et la somme de leurs carrés est 116.
exercice 7
Une suite géométrique v est croissante et ses termes sont strictement négatifs. 1. Justifier que la raison b de la suite est telle que 0 < b < 1.
Exercice Suite Arithmétique Corrigés
$$
Enoncé Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$. Démontrer que $f$ s'écrit de manière unique comme somme d'une fonction paire et somme d'une fonction impaire.
Exercice Suite Arithmétique Corrigé Pdf
On suppose qu'il existe un entier $n$ tel que $\mathcal P(n)$ est vraie. $$u_{n+1}=3u_n-2n+3\geq 3n-2n+1=n+1. $$
Donc $\mathcal P(n+1)$ est vraie. Par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier $n\in\mathbb N$. Raisonnement par disjonction de cas
Enoncé Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$, $|x-1|\leq x^2-x+1$. Enoncé Résoudre l'inéquation $x-1\leq \sqrt{x+2}$. Enoncé Le but de l'exercice est de démontrer que le produit de deux nombres entiers qui ne sont pas divisibles par 3 n'est pas divisible par 3. Soit $n$ un entier. Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne de $n$ par $3$? Suite arithmétique exercice corrigé bac pro. En déduire que si $n$ n'est pas divisible par 3, alors $n$ s'écrit $3k+1$ ou $3k+2$, avec $k$ un entier. La réciproque est-elle vraie? Soit $n$ un entier s'écrivant $3k+1$ et $m$ un entier s'écrivant $3l+1$. Vérifier que
$$n\times m=3(3kl+k+l)+1. $$
En déduire que $n\times m$ n'est pas divisible par $3$. Démontrer la propriété annoncée par l'exercice. Enoncé Démontrer que si $n$ est la somme de deux carrés, alors le reste de la division euclidienne de $n$ par 4 est toujours différent de $3$.
Suite Arithmétique Exercice Corrigé Bac Pro
b) L'algorithme d'Euclide permet de calculer le Plus Grand Commun
Diviseur de deux nombres entiers et. C'est une division euclidienne successive qui part de la division de par suivie par les divisions du dernier diviseur par le dernier reste. La division s'arrête quand le reste vaut ou. Ce qui permet d'obtenir le résultat suivant:
n = 48 | 18 | 12 | Fin
p = 18 | 12 | 6 | 0
Q = 2 | 1 | 2 | Fin
c) Le nombre de passage dans la boucle while:
Quand n=48 et p=18, le reste =12 au 1er passage. Quand n=18 et p=12, le reste n%p=6 au 2ème passage. Quand n=12 et p=6, le reste =0 au 3ème et dernier passage. Car, la boucle while ne pourra plus continuer quand n%p = 0 ou n%p = 1. Exercices corrigés sur l'artithmétique en seconde. Donc, l'algorithme passe 3 fois dans la boucle while. Corrigé exercice arithmétique 2:
Pour et, on le tableau complété à partir l'algorithme suivant: Passage dans la boucle while: 1 | 2 | 3 | 4
Condition dans while: True | True | True | False
n = 64 | 27 | 10 | 7
p = 27 | 10 | 7 | 3
L'algorithme se termine car le reste de la division euclidienne de 7 par 3 est de 1.
Exercice Suite Arithmétique Corrige Des Failles
Montrer que
\[
\forall \varepsilon > 0, |a| \leq \varepsilon \implies a = 0. \]
Enoncé Soit $a$ et $b$ deux réels. On considère la proposition suivante: si $a+b$ est irrationnel, alors $a$ ou $b$ sont irrationnels. Quelle est la contraposée de cette proposition? Démontrer la proposition. Est-ce que la réciproque de cette proposition est toujours vraie? Raisonnement par récurrence
Enoncé Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, on a $2^{n-1}\leq n! \leq n^n$. Enoncé Pour $n\in\mtn$, on considère la propriété suivante:
$$P_n:\ 2^n>n^2. $$
Montrer que l'implication $P_n\implies P_{n+1}$ est vraie pour $n\geq 3$. Pour quelles valeurs de $n$ la propriété $P_n$ est vraie? Enoncé On souhaite démontrer par récurrence que pour tout entier $n$ et pour tout réel $x>-1$,
on a $(1+x)^n\geq 1+nx$. La récurrence porte-t-elle sur $n$? Exercice suite arithmétique corrige. Sur $x$? Sur les deux? Énoncer l'hypothèse de récurrence. Vérifier que $(1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^2$. Rédiger la démonstration. Enoncé Démontrer par récurrence que, pour tout $x\geq 0$ et tout $n\geq 0$, on a
$$\exp(x)\geq 1+x+\cdots+\frac{x^n}{n!
Exercice Suite Arithmétique Corrige
}. $$
Enoncé Démontrer que, pour tout entier $n\geq 3$, on peut trouver $n$ entiers strictement positifs $x_1, \dots, x_n$, deux à deux distincts,
tels que
$$\frac1{x_1}+\cdots+\frac1{x_n}=1. $$
Enoncé Soit $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ la suite définie par $u_0=2$, $u_1=3$ et, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n$. Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n}=1+2^n$. Enoncé On considère la suite $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ définie par
$$\left\{
\begin{array}{l}
a_0=a_1=1\\
\forall n\in\mathbb N^*, \ a_{n+1}=a_n+\frac 2{n+1}a_{n-1}. \end{array}\right. $$
Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, $1\leq a_n\leq n^2$. Enoncé On considère la suite $(u_n)$ (suite de Fibonacci) définie par $u_0=u_1=1$ et, pour tout $n\geq 0$, $u_{n+2}=u_n+u_{n+1}$. Arithmétique, Cours et exercices corrigés - François Liret.pdf - Google Drive. Démontrer que la suite $(u_n)$ vérifie les propriétés suivantes:
pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n\geq n$;
pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n u_{n+2}-u_{n+1}^2=(-1)^n$. Avez-vous utilisé une récurrence simple ou une récurrence double? Enoncé
Démontrer qu'on peut partager un carré en 4 carrés, puis en 6 carrés, en 7 carrés, en 8 carrés.
D'où: les sept nombres recherchés sont: 43, 45, 47, 49, 51, 53 et 55.
exercice 5, u 3 = 2 + 3 × 5 = 17
On cherche donc n tel que:; soit encore: (n - 2)(5n + 19) = 12 912. Il faut donc trouver les racines du polynôme 5n² + 9n - 12950 = 0:
qui n'est pas un entier! et exercice 6
Soit (u n) une telle suite de premier terme u 0 et de raison r.
Il existe k tel que: et
Or: et
Or 4u k + 6r = 12 donc 2u k + 3r = 6
Ainsi: 6² + 5r² = 116
Soit:
Puis 2u k + 3r = 6 donc u k = -3 ou u k = 9
Ainsi: -3, 1, 5, 9 conviennent ainsi que: 9, 5, 1, -3. Si (v n) est une suite géométrique de premier terme v 0 et de raison b, alors pour tout entier n: v n = v 0 b n. 1. Si (v n) est croissante et ses termes sont strictement négatifs alors, c'est-à-dire 0 < b < 1. 2. v 1 v 3 = v 1 2 b 2 et; 1 - b 3 = (1 - b)(1 + b + b²)
On obtient donc le système:
soit encore:
Soit 6b² + 25b + 6 = 0 ou 6b² - 13b + 6 = 0
La première équation a deux solutions négatives (cf première questions)
Donc. v 1 = -1; v 2 =; v 3 =. Exercices corrigés -Différents types de raisonnement : absurde, contraposée, récurrence, analyse-synthèse.... S = 2 + 6 + 18 +... + 118 098
S est la somme des premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3.
u 0 = 2; u 1 = 2 × 3; u 2 = 2 × 3²... 118 098 = 2 × 59 049 = 2 × 3 10..
S' est la somme des premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 2 et de raison.
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