Cours de première
Dans ce cours, nous allons apprendre à étudier les variations d'une fonction. Cela nous permettra de dire si une fonction est croissante ou décroissante sans connaître sa représentation graphique. Nous pourrons alors dessiner son tableau de variation et connaître ses minimums et maximums. Nous étudierons ensuite la fonction racine carrée, la fonction valeur absolue et la fonction cube. Étude des variations d'une fonction Méthode
Pour étudier les variations d'une fonction:
1. On calcule sa dérivée. 2. On étudie le signe de la dérivée (en résolvant une inéquation). 3. On dessine un tableau comme ci-dessous:
4. On écrit sur la première ligne les valeurs de x pour lesquelles f'(x) change de signe. 5. On remplit la deuxième ligne avec des + ou des -. 6. Etude de Fonctions | Superprof. On remplit la troisième ligne avec des flèches qui montent lorsque f'(x)>0 pour les valeurs de x situées sur la première ligne, ou qui descendent lorsque f'(x)<0. Exemple
Dans le chapitre précédent, nous avions besoin de connaître les variations de la fonction f(x)=x(20-2x)(10-2x)
afin de trouver la valeur de x permettant de construire une boite de volume maximal à partir d'un support rectangulaire de dimensions 20*10 cm.
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Étude d'une fonction numérique
Cette page constitue un résumé des différentes étapes de l'étude d'une fonction jusqu'à sa représentation graphique. Il s'agit bien sûr d'une étude manuelle telle qu'elle est enseignée au lycée ou après le bac. Bref, la procédure classique. Évidemment, tracer une courbe grâce à un logiciel ou à une calculatrice graphique est plus rapide mais pas toujours plus sûr… Et les étapes « classiques » peuvent s'inscrire dans une étude plus large (résolution d' intégrales, par exemple). Plan d'étude d'une fonction. Plan d'étude
Premièrement, il s'agit de délimiter l' ensemble de définition, notamment en vérifiant s'il n'existe pas des impossibilités mathématiques. Dans l' ensemble des réels, un dénominateur ne doit pas être nul, une racine carrée est positive ou nulle, un logarithme est strictement positif, etc. La modélisation d'une problématique concrète restreint l'ensemble de définition à un intervalle fini. Deuxièmement, on vérifie si, éventuellement, on peut se contenter d'un ensemble d'étude plus petit qu'un ensemble de définition.
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Méthode 1 À l'aide de la fonction dérivée de f
Pour étudier le sens de variation d'une fonction f dérivable sur I, on étudie le signe de sa fonction dérivée. On considère la fonction f définie par: \forall x \in\mathbb{R}, f\left(x\right) = 3x^3-x^2-x-4
Étudier le sens de variation de f sur \mathbb{R}. On justifie que f est dérivable sur I et on calcule f'\left(x\right). f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme. On a:
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right)= 3x^3-x^2-x-4
Donc:
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right)= 9x^2-2x-1 Etape 2 Étudier le signe de f'\left(x\right)
On étudie le signe de f'\left(x\right) sur I. Étude de fonction méthode du. f'\left(x\right) est un trinôme du second degré. Afin d'étudier son signe, on calcule le discriminant \Delta:
\Delta = b^2-4ac
\Delta = \left(-2\right)^2 -4\times \left(9\right)\times\left(-1\right)
\Delta = 40
\Delta \gt 0, donc le trinôme est du signe de a (positif) sauf entre les racines. On détermine les racines:
x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{2-\sqrt{40}}{18}= \dfrac{2\times 1-2\times \sqrt{10}}{2\times 9} = \dfrac{1-\sqrt{10}}{9} x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{2+\sqrt{40}}{18}= \dfrac{2\times 1-2\times \sqrt{10}}{2\times 9} = \dfrac{1+\sqrt{10}}{9}
On en déduit le signe de f'\left(x\right): Etape 3 Réciter le cours On récite ensuite le cours:
Si f'\left(x\right)\gt0 sur un intervalle I, alors f est strictement croissante sur I.
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est une fonction affine définie sur par où et sont deux réels. Si, alors est une fonction strictement croissante. Si, alors est une fonction strictement décroissante. Remarque
Si, alors est constante. Soient et deux réels. donc est strictement croissante. donc est strictement décroissante. On peut utiliser un raisonnement par l'absurde pour démontrer les réciproques. est une fonction affine impaire si et seulement si est une fonction linéaire. est une fonction affine paire si et seulement si est une fonction constante. Énoncé
►► Utiliser les variations
Soit et une fonction affine définie sur par. Déterminer un encadrement de. Méthode
1. On vérifie les variations de la fonction. 2. La fonction est décroissante donc deux nombres et
leur image sont classés dans l'ordre inverse. La fonction affine est strictement décroissante car et donc:
Pour s'entraîner: exercices 25 p. 105, 62 p. 109 et 63 p. 110. Étude de fonction methode.com. ►► Utiliser la parité
est une fonction affine impaire telle que. En déduire l'expression de en fonction de
1.
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• Cours de terminale sur les fonctions. Fonctions exponentielle et logarithme népérien, dérivée d'une fonction composée et théorème des valeurs intermédiaires.
Les intersections de la courbe avec l'axe des abscisses indiquent les points d'annulation de la fonction, autrement dit les antécédents de 0. Si la fonction est continue, elle est de signe constant sur les intervalles du domaine de définition qui ne contiennent pas de point d'annulation (en dehors éventuellement de leurs extrémités). Il est possible alors de déterminer ce signe sur chacun de ces intervalles d'après la position relative de la courbe et de l'axe des abscisses:
si la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, la fonction est positive sur cet intervalle;
si la courbe est en dessous de l'axe des abscisses, la fonction est négative sur cet intervalle. La lecture graphique permet aussi de repérer les intervalles en abscisse sur lesquels la fonction est monotone, c'est-à-dire soit croissante, soit décroissante. Ces intervalles sont a priori différents des intervalles de signe constant. Étude de fonction méthode de la. Toutes ces informations peuvent être rassemblées dans un tableau de variations. À partir de l'expression [ modifier | modifier le code]
Lorsque la fonction est donnée par une expression, éventuellement définie par morceaux, son domaine de définition est déterminé par ceux des fonctions de référence utilisées et des domaines de validité des opérations en jeu.
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