En géométrie affine, une équation de droite, au sens large, permet de décrire l'ensemble des points appartenant à cette droite. Une droite dans un plan affine de dimension 2 est déterminée par une équation cartésienne; une droite dans un espace affine de dimension 3, est déterminée par un système de deux équations cartésiennes définissant deux plans sécants dont la droite est l'intersection; etc. Définition [ modifier | modifier le code]
L'équation d'une droite D est une ou plusieurs équations du premier degré à plusieurs inconnues (des coordonnées), et dont l'ensemble des solutions forme la droite D. Dans le plan [ modifier | modifier le code]
Dans le plan, l'ensemble des points M ( x, y) formant D peut se représenter par une équation de la forme:
où a, b et c sont des constantes telles que ( a, b) ≠ (0, 0). Dans ce cas,
Dans l'espace [ modifier | modifier le code]
Dans un espace à trois dimensions en coordonnées cartésiennes, on peut décrire l'ensemble des points M ( x, y, z) formant la droite D par:
une équation paramétrique;
un système de deux équations de plans non parallèles;
un système redondant de trois équations, équivalent à deux d'entre elles.
Équation Cartésienne D Une Droite Dans L Espace En
On parle soit d'équation cartésienne (de plan par exemple) ou système d'équation paramétré d'une droite (dans l'espace)
L'équation d'une droite dans l'espace ne sourait être de forme ax+by+cz+d=0 ceci est l'équation cartésienne d'un plan dans l'espace. Dans le plan c'est ax+by+c=0
Voilà
Après pour un systéme d'équation paramètré d'une droite
{x = d + ct
{y = e + bt
{z = f + at
(d, e, f) est un point de la droite. Celui que tu veux
(c, b, a) un vecteur directeur de la doite
Posté par gaby775 re: système d'équations cartésiennes d'une droite dans l'espace 21-05-09 à 09:41 trop tard...
Posté par Labo re: système d'équations cartésiennes d'une droite dans l'espace 21-05-09 à 09:44 bonjour gaby775
Posté par Clara re: système d'équations cartésiennes d'une droite dans l'espace 21-05-09 à 09:53 je sais comment trouver un système d'équations paramétriques mais dans mon livre on me demande de déterminer le système d'équations cartésiennes pour la droite (BA) alors je ne sais pas quoi en penser!
Équation Cartésienne D Une Droite Dans L Espace Bac Scientifique
Toutes les droites du plan sont caractérisées
par leur équation, qui peut s'écrire de
deux façons différentes: on parle
d'équation réduite ou
d'équation cartésienne d'une
droite. Dans cette fiche, on étudie plus
particulièrement les équations
cartésiennes de droites. On considère le plan muni d'un repère
orthonormé. 1. Équation cartésienne et vecteur
directeur d'une droite
a. Équation cartésienne d'une droite
L' équation cartésienne
d'une droite est de la forme ax + by + c = 0,
avec a,
b et
c
∈ℝ et au moins l'un des nombres
a et
b non nul. Exemples
y – 3 x
+ 2 = 0 est l'équation
cartésienne d'une droite non
parallèle à l'axe des
ordonnées. x
– 3 = 0 est
l'équation cartésienne d'une
droite parallèle à l'axe des
y
+ 2 = 0 est
abscisses. Remarque
Une droite possède une seule équation
réduite, mais peut avoir plusieurs
équations cartésiennes
différentes. En effet, on peut toujours multiplier ou diviser une
équation cartésienne par un nombre non
nul. Exemple
– 3 x + 2 =
0 est une équation cartésienne de
droite.
Équation Cartésienne D Une Droite Dans L Espace Ce1
Vecteur directeur $\vec{u}$
$\vec{u}$ est vecteur directeur de (AB) ssi ils sont sont colinéaires. $\overrightarrow{AB}$ est vecteur directeur de la droite (AB)
$k. \overrightarrow{AB}$ désigne tous les vecteurs directeurs (car ils sont colinéaires entre eux)
Vecteur normal $\vec{n}$
Vecteur normal $\vec{n}$ à une droite (ou un plan) ssi il est orthogonal (perpendiculaire) avec un vecteur directeur de la droite (ou du plan). Coordonnées de vecteurs
Coordonnées d'un vecteur directeur $\vec{u}$ à une droite
$\begin{pmatrix} x =at+a' \cr y=bt+b' \cr z=ct+c' \end{pmatrix} \, t \in \mathbb{R}$ est une équation paramétrique de la droite (D)
Un vecteur directeur de (D) a pour coordonnées $(a;b;c)$, ce sont les coefficient devant t. Coordonnées d'un vecteur directeur $\vec{u}$ à un plan
$ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne du Plan P
Deux vecteurs directeurs au plan P ont pour coordonnées $(-b;a;0)$ ou $(b;-a;0)$, car ils vérifient l'équation cartésienne. Coordonnées d'un vecteur normal $\vec{n}$ à un plan
Le vecteur normal au plan P a pour coordonnées $(a;b;c)$, ce sont les coefficients de l'équation cartésienne.
Équation Cartésienne D Une Droite Dans L Espace 3Eme
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Définition Un vecteur n ⃗ \vec{n} est dit normal à un plan ( P) (P) s'il est non nul et orthogonal à tous les vecteurs contenus dans ( P) (P). Propriété Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si un de ses vecteurs directeurs est un vecteur normal du plan. Propriété Si un vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires d'un plan alors c'est un vecteur normal à ce plan. Propriété Soit n ⃗ \vec{n} un vecteur normal à un plan ( P) (P). Alors, tout vecteur non nul colinéaire à n ⃗ \vec{n} est aussi un vecteur normal de ( P) (P). Propriété Deux plans sont parallèles si et seulement si tout vecteur normal de l'un est un vecteur normal de l'autre. Propriété Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l'un est orthogonal à un vecteur normal de l'autre. Propriété Soient n ⃗ \vec{n} un vecteur non nul, A A un point et ( P) (P) le plan passant par A A et de vecteur normal v e c n vec{n}. Alors un point M M appartient à ( P) (P) si et seulement si n ⃗.
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