Séries entières. Développement des fonctions usuelles en séries entières - YouTube
- Séries numériques - A retenir
- Séries numériques, suites et séries de fonctions, séries entières
- Chapitre 11 : Séries Entières - 3 : Somme d'une Série Entière de variable réelle
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SÉRies NumÉRiques - A Retenir
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La théorie des séries entières exprime la majorité des fonctions usuelles comme somme de séries. Ceci permet de démontrer des propriétés de ces fonctions, de calculer des sommes compliquées et également de résoudre des équations différentielles. À partir des séries entières, on peut définir des séries formelles pour lesquelles la variable est une indéterminée. On peut alors utiliser les outils des séries entières sans avoir à s'inquiéter de la notion de convergence. Objectifs
Les objectifs de cette leçon sont:
Savoir calculer un rayon de convergence. Savoir faire un développement en série entière. Connaitre les développements en séries entières des fonctions usuelles. Séries entires usuelles. Modifier ces objectifs
Niveau et prérequis conseillés
Leçon de niveau 15. Les prérequis conseillés sont:
Série numérique
Suites et séries de fonctions: notion de convergence
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Séries Numériques, Suites Et Séries De Fonctions, Séries Entières
Enfin, il est parfois nécessaire d'étudier ce qui se passe sur le bord du disque de convergence (lorsque le module de zest égal à R), où le comportement de la série est difficilement prévisible. FONCTION DÉVELOPPABLE EN SÉRIE ENTIÈRE On dit qu'une fonction d'une variable complexe est dévelop¬ pable en série entière au voisinage d'un point s'il existe une série entière de rayon de convergence R strictement positif telle que la fonction soit égale à la limite de cette série entière. Une fonction développable en série entière est infiniment dérivable, l'inverse n'étant pas toujours vrai. Les fonctions usuelles (exponentielle, logarithme, fonctions trigonomé- triques, etc. ) sont toutes développables en série entière. Séries numériques, suites et séries de fonctions, séries entières. Cette propriété est très utile, par exemple dans des calculs d'intégrales. Enfin, on dit qu'une fonction est analytique sur un ensemble U si elle est développable en série entière en tout point de cet ensemble. Si, dans l'ensemble des réels, toute fonction infiniment dérivable n'est pas nécessairement analytique, cette propriété est vraie en analyse complexe.
Chapitre 11 : SÉRies EntiÈRes - 3 : Somme D'une SÉRie EntiÈRe De Variable RÉElle
On s'intéresse à la régularité de la série entière à l'intérieur de son intervalle de convergence $]-R, R[$. Théorème (intégration d'une série entière): Soit $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$ et soit $F$
une primitive de $f$. Alors, pour tout $x\in]-R, R[$,
$$F(x)=F(0)+\sum_{n\geq 0}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}. $$
Théorème (dérivation terme à terme): Soit $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$. Alors $f$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $]-R, R[$. De plus, pour tout $x\in]-R, R[$ et tout $k\geq 0$, on a
$$f^{(k)}(x)=\sum_{n\geq k}n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n x^{n-k}. $$
Théorème (expression des coefficients d'une série entière): Soit $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$. Chapitre 11 : Séries Entières - 3 : Somme d'une Série Entière de variable réelle. Alors, pour tout $n\geq 0$,
$$a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n! }. $$
Corollaire: Si $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ et $g(x)=\sum_{n\geq 0} b_nx^n$ coïncident sur un voisinage de $0$, alors pour tout $n\geq 0$, $a_n=b_n$.
De plus, on peut intégrer terme à terme une série entière sur l'intervalle de convergence 3. 3 Développements usuels On peut voir sur le tableau ci-dessous les developpements usuels en dérie entière. La série géométrique et l'exponentielle sont aussi valables pour une variable complexe. Preuve. Pour, on applique l'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre en 0:. Or, ce qui se montre facilement en montrant que la série converge. D'où ce qui est le résultat annoncé. Pour, on utilise le même procédé:. On conclut de la même façon. Pour ch, on écrit que ch, le résultat en découle immédiatement. C'est la même chose pour sh est somme d'une série géométrique, de même. La démonstration a été faite dans le chapitre relatif aux séries numériques. et sont les primitives des précédentes qui s'annullent en 0. On va montrer le prolongement à la borme pour, on l'admettra pour. On a la convergence de en de par application du critère spécial des séries alternées. Séries numériques - A retenir. Ceci prouve la continuité de la somme de la série entière en 1.
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