En statistique, la variance est une mesure de la dispersion des valeurs d'une série. elle est à la fois égale:
- au carré de l' écart type
- la moyenne arithmétique des carrés des écarts à la moyenne de la série
La variance est calculée (ou estimé) différemment selon que les données disponibles concernent la population entière ou seulement un échantillon de la population. Calcul de la variance à partir de la "population entière (ou totale)"
Dans ce cas, on dispose des valeurs pour la population entière. Le calcul de la variance est direct à partir de la définition ci-dessus:
Soit la série X,
`X = {x_1, x_2,..., x_n}`
On note `bar x` la moyenne de la série X soit, `bar x = 1/m_{i=1}^{i=n}x_i`
La variance s'écrit alors,
`\text{Var(X)} = 1/m_{i=1}^{i=n}(x_i-barx)^2`
Exemple: `X = {1, 2, 5, 3, 8}`
Pour calculer la variance, on calcule d'abord la moyenne soit,
`bar x = 1/5. (1+2+5+3+8) = 3. 8`
On déduit la variance,
`\text{Var(X)} = 1/5( (1-3. 8)^2+(2-3. 8)^2+(5-3. Calcul de Variance σ^2 - Mesure Statistique d'une Liste en Ligne. 8)^2+(3-3. 8)^2+(8-3. 8)^2) approx 6.
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Cette toute équation divisée par n – 1
La première chose que nous devons trouver, c'est la moyenne de X et la moyenne de Y. Eh bien, si je les additionne et que je divise par 4. Alors j'obtiens:
X = 2, 1, 2, 5, 3, 6, 4, 0 (`X) = 3, 1
Y = 8, 10, 12, 14 (`Y) = 11
Maintenant, j'ai toutes les valeurs à mettre dans la formule de covariance. Tout d'abord, nous allons simplement résoudre cette partie (X -`X) (Y - `Y) de notre équation. (Ici, dans la première partie, nous prenons des valeurs X et soustrayons la moyenne de X et les multiplions par les valeurs Y correspondantes et soustrayons la moyenne de Y et ainsi de suite. Il suffit de regarder. Calculer la variance en ligne de la. ) La covariance est donc de 2, 267. Cette réponse est positive et nous dit que ces valeurs tendent ensemble dans une direction positive. L'utilisation du calculateur de covariance et de corrélation est le moyen le plus rapide de calculer tout cela sans passer beaucoup de temps. Le calculateur de covariance de population détermine la relation statistique, une mesure entre les deux ensembles de données de population (x, y) et trouve également la moyenne de leur échantillon.
(Pour être précis: sa moyenne, car c'est elle-même une variable aléatoire, est plus petite que s 2. ) La raison est que (Σx i)/n n'est pas exactement m, et surtout c'est la valeur t qui minimise
donc elle est en quelque sorte "trop bien ajustée aux x i ". Lemme: soit trois nombres a, b et c, le nombre t qui minimise (a - t) 2 + (b - t) 2 + (c - t) 2 est la moyenne arithmétique de a, b et c:
Preuve:
Considérons la fonction f(t) = 3t 2 - 2t (a + b + c)
C'est une parabole tournée vers le haut, avec deux racines: 0 et (2/3)(a + b + c)
Elle a un axe de symétrie vertical à t = (a + b+ c)/3 et c'est le point t où elle est minimale. Ce résultat est vrai non seulement pour trois nombres mais pour "n" nombres: x 1, x 2, x 3,... x n
Etude avec une variable aléatoire: Soit donc une v. a. X qui peut prendre les valeurs { 100, 110, 120, 130, 140} avec les probabilités respectives 5%, 20%, 50%, 20%, 5%. Calculer la variance en ligne la. On calcule aisément que m = 120, et s 2 = 80. (Et l'écart type est s = √80 = 8, 94... )
Situation réelle: Plaçons-nous dans une situation où on a quelques mesures de X, mais on ne connaît ni l'ensemble des valeurs possibles { a 1, a 2, a 3,... a n} (quoiqu'on en connaisse forcément quelques unes grâce aux observations), ni les probabilités, ni m, ni s 2.
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