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Corrigés – Calcul de l'espérance, loi de Poisson
Exercice 1: Boules et limite de l'espérance
boules () sont réparties dans urnes. Question 2:
est une v. a. r. finie, donc elle admet une espérance. En utilisant la formule de l'espérance toale:. Or. Donc. Question 3:
La suite est arithmético-géométrique. Si,. On a alors:, et comme, on obtient:. Si, pour. Si,, donc quand, donc quand. Exercice 2: Loi et calcul de l'espérance
Une urne contient boules numérotées de à (). On effectue des tirages successifs d'une boule de l'urne, en remettant chaque fois la boule tirée dans l'urne avant le tirage suivant. Calculateur de loi binomiale - IREM de la Réunion. Pour, désigne le rang du tirage où l'on voit apparaître pour la première fois numéros distincts, si cette circonstance se produit, sinon prend la valeur. Question 1:
On a: le premier numéro est évidemment un nouveau numéro. Question 2:, donc p. s., et pour,, donc suit une loi géométrique de paramètre. (i) Pour, prend ses valeurs dans: il faut au moins un tirage supplémentaire pour voir apparaître un nouveau numéro, et on peut aussi tirer toujours des numéros déjà obtenus.
Moments, fonctions de répartition
Enoncé Soit $X$ une variable aléatoire admettant un moment d'ordre 2. Démontrer que $E\big((X-a)^2\big)$ est minimal
pour $a=E(X)$. Enoncé On dit qu'une variable aléatoire réelle $X$ est quasi-certaine lorsqu'il existe un réel $a$ tel que $P(X=a)=1$. Soit $X$ une variable aléatoire réelle telle que $X(\Omega)$ soit fini ou dénombrable. Démontrer que $X$ est quasi-certaine si et seulement si $V(X)=0$. Enoncé Soit $X$ une variable aléatoire réelle et soit $M\subset\mathbb R$ tel que,
tout $x\in M$, $P(X=x)>0$. Démontrer que $M$ est fini ou dénombrable. Enoncé Soit $F:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction croissante, continue à droite,
vérifiant $\lim_{-\infty}F=0$ et $\lim_{+\infty}F=1$. On veut démontrer qu'il existe une variable
aléatoire $X$ dont $F$ est la fonction de répartition. Pour $u\in]0, 1[$, on pose
$$G(u)=\inf\{x\in\mathbb R;\ F(x)\geq u\}. $$
Vérifier que $G$ est bien définie. Corrigés des exercices sur les lois de Poisson. Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$ et tout $u\in]0, 1[$, $F(x)\geq u\iff x\geq G(u)$.