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Le critère de Routh-Hurwitz permet de déterminer si les pôles d'une fonction de transfert sont tous à partie réelle sans les calculer. Considérons un systèmes dont la fonction de transfert s'écrit:
( 2. 14)
avec. On construit alors un tableau de coefficients comportant lignes (voir tableau 2. 2). Les deux premières lignes sont constituées des coefficients du dénominateur; les autres lignes sont déterminées à partir des lignes précédentes de la manière suivante:
( 2. Cas particulier du critère de ROUTH et forme générale - YouTube. 15)
par exemple, pour un système d'ordre, on obtient le tableau 2. 3 avec,,,,,,,,. Théorème 1 (Critère de Routh-Hurwitz)
Le système est stable si et seulement si tous les coefficients de la première colonne du tableau de Routh-Hurwitz sont de même signe
Exercice 3 (Critère de Routh-Hurwitz)
Déterminez la stabilité de:
( 2. 16)
( 2. 17)
Déterminez pour quelles valeurs de le système:
( 2. 18)
est stable. Laroche
2008-09-29
Tableau De Route
$ s ^ 5 $
3
Les éléments de la ligne $ s ^ 4 $ ont le facteur commun de 3. Donc, tous ces éléments sont divisés par 3. Special case (ii) - Tous les éléments de la ligne $ s ^ 3 $ sont nuls. Alors, écrivez l'équation auxiliaire, A (s) de la ligne $ s ^ 4 $. $$ A (s) = s ^ 4 + s ^ 2 + 1 $$
Différenciez l'équation ci-dessus par rapport à l'art. $$ \ frac {\ text {d} A (s)} {\ text {d} s} = 4s ^ 3 + 2s $$
Placez ces coefficients dans la ligne $ s ^ 3 $. Dérivation du tableau de Routh - fr.reciplicity.com. 4
$ \ frac {(2 \ fois 1) - (1 \ fois 1)} {2} = 0, 5 $
$ \ frac {(2 \ fois 1) - (0 \ fois 1)} {2} = 1 $
$ \ frac {(0, 5 \ fois 1) - (1 \ fois 2)} {0, 5} = \ frac {-1, 5} {0, 5} = - 3 $
Dans le critère de stabilité de Routh-Hurwitz, nous pouvons savoir si les pôles en boucle fermée sont dans la moitié gauche du plan «s» ou sur la moitié droite du plan «s» ou sur un axe imaginaire. Donc, nous ne pouvons pas trouver la nature du système de contrôle. Pour surmonter cette limitation, il existe une technique connue sous le nom de locus racine. Nous discuterons de cette technique dans les deux prochains chapitres.
Tableau De Routine À Télécharger
Dans le cas où le point de départ est sur une incongruité (i. e., je = 0, 1, 2,... ) le point final sera également sur une incongruité, par l'équation (17) (puisque est un entier et est un entier, sera un entier). Dans ce cas, on peut obtenir ce même indice (différence des sauts positifs et négatifs) en décalant les axes de la fonction tangente de, en ajoutant à. Tableau de route de la soie. Ainsi, notre indice est maintenant entièrement défini pour toute combinaison de coefficients dans en évaluant sur l'intervalle (a, b) = lorsque notre point de départ (et donc d'arrivée) n'est pas une incongruité, et en évaluant sur ledit intervalle lorsque notre point de départ est à une incongruité. Cette différence,, des incongruités de saut négatives et positives rencontrées lors de la traversée de à est appelé l'indice de Cauchy de la tangente de l'angle de phase, l'angle de phase étant ou alors, selon que est un multiple entier de ou pas. Le critère de Routh Pour dériver le critère de Routh, nous allons d'abord utiliser une notation différente pour différencier les termes pairs et impairs de: Maintenant nous avons: Par conséquent, si est même, et si est impair: Observez maintenant que si est un entier impair, alors par (3) est impair.
Tableau De Routage
Donc, tous ces éléments sont divisés par 2. Special case (i) - Seul le premier élément de la ligne $ s ^ 2 $ vaut zéro. Alors, remplacez-le par $ \ epsilon $ et continuez le processus de remplissage de la table Routh. $ \ epsilon $
$ \ frac {\ left (\ epsilon \ times 1 \ right) - \ left (1 \ times 1 \ right)} {\ epsilon} = \ frac {\ epsilon-1} {\ epsilon} $
Comme $ \ epsilon $ tend vers zéro, la table Routh devient ainsi. 0
-∞
Il y a deux changements de signe dans la première colonne du tableau Routh. Par conséquent, le système de contrôle est instable. Tous les éléments de n'importe quelle ligne du tableau Routh sont nuls
Dans ce cas, suivez ces deux étapes -
Écrivez l'équation auxiliaire, A (s) de la ligne, qui est juste au-dessus de la ligne de zéros. Tableau de routine enfant. Différencier l'équation auxiliaire, A (s) par rapport à s. Remplissez la rangée de zéros avec ces coefficients. $$ s ^ 5 + 3s ^ 4 + s ^ 3 + 3s ^ 2 + s + 3 = 0 $$
Tous les coefficients du polynôme caractéristique donné sont positifs. Ainsi, le système de contrôle remplissait la condition nécessaire.
Tableau De Routine Montessori
L'importance du critère est que les racines p de l'équation caractéristique d'un système linéaire à parties réelles négatives représentent des solutions e pt du système qui sont stables ( bornées). Ainsi, le critère permet de déterminer si les équations de mouvement d'un système linéaire n'ont que des solutions stables, sans résoudre directement le système. Pour les systèmes discrets, le test de stabilité correspondant peut être géré par le critère de Schur – Cohn, le test Jury et le test Bistritz. Critère de stabilité de Routh - YouTube. Avec l'avènement des ordinateurs, le critère est devenu moins largement utilisé, car une alternative est de résoudre le polynôme numériquement, en obtenant directement des approximations aux racines. Le test de Routh peut être dérivé en utilisant l' algorithme euclidien et le théorème de Sturm dans l'évaluation des indices de Cauchy. Hurwitz a dérivé ses conditions différemment. Utilisation de l'algorithme d'Euclid
Le critère est lié au théorème de Routh – Hurwitz. D'après l'énoncé de ce théorème, nous avons où:
est le nombre de racines du polynôme à partie réelle négative;
est le nombre de racines du polynôme à partie réelle positive (selon le théorème, est supposé n'avoir aucune racine située sur la ligne imaginaire);
w ( x) est le nombre de variations de la chaîne de Sturm généralisée obtenue à partir de et (par divisions euclidiennes successives) où pour un réel y.
Tableau De Routine Garderie
Les références Hurwitz, A., "Sur les conditions dans lesquelles une équation n'a que des racines avec des parties réelles négatives", Rpt. in Selected Papers on Mathematical Trends in Control Theory, Ed. R. T. Ballman et al. New York: Douvres 1964 Routh, E. J., A Treatise on the Stability of a Given State of Motion. Londres: Macmillan, 1877. Rpt. Tableau de routine garderie. dans Stabilité du mouvement, éd. A. Fuller. Londres: Taylor & Francis, 1975 Felix Gantmacher (traducteur J. L. Brenner) (1959) Applications de la théorie des matrices, pp 177-80, New York: Interscience.
Exemple: Soit le polynôme caractéristique A(p)= p 3 -2p 2 -13p-10
p 3
1
-13
p 2
-2
-10
p
-18
0
p 0
Un changement de signe, donc un pôle instable. En effet, A(p) a pour racines -1,
-2, 5. Exemple: Soit le polynôme caractéristique A(p)=p 4 + p 3 +5p 2 +4p+4
p 4
5
4
e
Deux racines imaginaires pures (+2j, -2j); les autres sont. Exemple: Soit la fonction de transfert en boucle ouverte H(p)=K(p-1)/p(1+Tp) avec T>0. Le dénominateur
en boucle fermée est: Tp 2 +(1+K)p-K
T
-K
1 + K
Ce système est instable pour tous les gains positifs. [ Table des matires]