En conclusion de notre étude, nous constatons que la racine du polynôme est la même que dans le premier cas, et que le changement de signe du polynôme se fait encore par rapport à elle. Voici le Tableau de Signes que nous obtenons. Tableau de Signes pour \(a\lt0\)
Nous constatons que pour \(a\lt0\), \(P(x)\) est du signe de \(a\) quand la valeur de la variable est plus grande que la racine du polynôme, et du signe contraire sinon. Comme dans le premier cas. Exemple d'application pour « a » négatif? Quel est le signe du polynôme \(P(x)=-4x+20\) quand \(x\) varie? Le coefficient \(a\) prend ici la valeur \(-4\), il est donc strictement négatif. Pour ce cas aussi nous reprenons soigneusement le processus que nous avons expliqué: nous recherchons toujours les valeurs de la variable \(x\) pour lesquelles \(P(x)\) est soit négatif, soit nul, soit positif. Etude du signe du polynôme \(P(x)=-4x+20\)
\[-4x+20=0\]
\[-4x=-20\]
\[x=\frac{-20}{-4}\]
\[\boxed{x=5}\]
\[-4x+20\gt0\]
\[-4x\gt -20\]
\[x\lt\frac{-20}{-4}\]
\[\boxed{x\lt5}\]
\[-4x+20\lt0\]
\[-4x\lt -20\]
\[x\gt\frac{-20}{-4}\]
\[\boxed{x\gt5}\]
\(P(x)\) est nul pour \(x=5\)
\(P(x)\) est positif pour \(x\lt5\)
\(P(x)\) est négatif pour \(x\gt5\)
De même, nous synthétisons ces résultats dans un tableau de signes.
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Tableau De Signe Polynome De La
Nous avons bien remarqué que c'est au niveau de cette racine que le signe du polynôme change. Une ligne résultat
Nous y trouvons le signe de \(P(x)\) selon la valeur de \(x\) comme nous l'avons déterminé dans le tableau d'étude du signe. Une ligne de conclusion
Nous constatons que le signe du polynôme dépend du signe de son coefficient \(a\). Nous avons trouvé une règle! Pour \(a\gt0\), \(P(x)\) est du signe de \(a\) quand la valeur de la variable est plus grande que la racine du polynôme, et du signe contraire sinon. Répétons-nous, avant le résultat, c'est la méthode que vous devez retenir et savoir réutiliser. Exemple d'application pour « a » positif? Etudions le signe du polynôme \(P(x)=2x+3\)
Le coefficient \(a\) prend ici la valeur \(2\), il est donc strictement positif. Nous allons reprendre les mêmes étapes que dans le cas théorique. Cherchons d'abord pour quelles valeurs de la variable \(x\), \(P(x)\) est négatif, nul ou positif:
Etude du signe du polynôme \(P(x)=2x+3\)
\[2x+3=0\]
\[2x=-3\]
\[x=\frac{-3}{2}\]
\[\boxed{x=-1, 5}\]
\[2x+3\gt0\]
\[2x\gt -3\]
\[x\gt\frac{-3}{2}\]
\[\boxed{x\gt-1, 5}\]
\[2x+3\lt0\]
\[2x\lt -3\]
\[x\lt\frac{-3}{2}\]
\[\boxed{x\lt-1, 5}\]
\(P(x)\) est nul pour \(x=-1, 5\)
\(P(x)\) est positif pour \(x\gt-1, 5\)
\(P(x)\) est négatif pour \(x\lt-1, 5\)
Maintenant récapitulons nos trouvailles dans un tableau de signes.
Tableau De Signe Polynome Pdf
En effet, f (–2) = f (–1) = f (2) = 0. La fonction g: x →
–0, 2( x + 3)( x –4)²
admet 2 racines: –3 et 4. En effet, g (–3) = g (4) = 0. Ici, on dit que 4 est une racine double. La fonction h: x
→
(x – 1) 3
n'admet qu'une seule
racine: 1. En effet, h (1) = 0. Ici, on dit que 1 est une racine triple. Ces trois racines peuvent donc être distinctes ou
non. Graphiquement, cela se traduit par le fait que la courbe
représentative de la fonction coupe l'axe
des abscisses en un, deux ou trois points
d'abscisses x 1,
Ci-dessous, les courbes représentatives des
3 fonctions de l'exemple
précédent:
3. Signe d'une fonction polynôme de
Pour obtenir le signe d'une telle fonction, il faut
dresser un tableau de signes. Considérons x 1,
et x 3 les trois
racines telles que x 1 ≤ x 2 ≤ x 3. On obtient le tableau de signes suivant:
Et donc,
Si
Alors
est
a > 0
a ( x – x 1)( x – x 2)( x – x 3)
négatif sur]–∞; x 1 [
et sur] x 2; x 3 [
positif sur] x 1; x 2 [
et sur] x 3; +∞[
a < 0
positif sur]–∞; x 1 [
négatif sur] x 1; x 2 [
Remarques
Dans le cas où
x 1 = x 2,
l'intervalle] x 1; x 2 [
n'existe pas.
Tableau De Signe Polynome Au
Tableau de Signes pour \(P(x)=2x+3\)
\(-1, 5\)
Signe contraire de \(a\)
Signe de \(a\)
Et ça tombe bien, nous retrouvons la règle que nous avons découverte! Deuxième cas: coefficient « a » strictement négatif
Méthode à retenir et suivre
En appliquant exactement la même méthode - séparer les trois cas possibles pour le signe de \(P(x)\) - voyons si le coefficient \(a\), quand il est négatif, a la même influence sur le signe de son polynôme. Nous représentons de la même façon les calculs sur trois colonnes. Etude du signe du polynôme \(P(x)=ax+b\) pour \(a\lt0\)
\[x\color{red}{\lt}\frac{-b}{a}\]
\[x\color{red}{\gt}\frac{-b}{a}\]
\(P(x)\) est positif pour \(x\lt\displaystyle\frac{-b}{a}\)
\(P(x)\) est négatif pour \(x\gt\displaystyle\frac{-b}{a}\)
Ce qui se passe dans les deux dernières colonnes vous surprend peut-être. Mais il faut se rappeler que:! Le sens d'une inégalité change quand on divise chaque membre par un nombre négatif. Et nous nous trouvons dans le cas où \(a\) est négatif! Vérifions notre règle sur l'exemple de l'inégalité \(1\lt4\)
Divisons chaque membre par \(-2\) en appliquant la règle, c'est à dire en changeant le sens de l'inégalité: \[\frac{1}{-2}\gt\frac{4}{-2}\]
Vérifions si nous avons eu raison en effectuant le calcul: \[-0, 5\gt -2\]
Il faut donc faire très attention!
Tableau De Signe Polynome Pour
1. Fonction polynome de degré 3
Une fonction du type x → a ( x – x 1)( x – x 2)( x – x 3)
est une fonction polynôme de
degré 3. C'est la forme factorisée de ce
polynôme. Exemple
Montrer que la fonction f(x) = 2( x – 3)( x + 2)( x – 1)
On développe l'expression algébrique
de f et on
obtient:
f(x) = (2 x – 6)( x ² – x + 2 x – 2) =
(2 x – 6)( x ² + x – 2)
= 2 x 3 + 2 x ² – 4 x – 6 x ² – 6 x + 12 =
2 x 3 – 4 x ² – 10 x + 12
L'expression 2 x 3 – 4 x ² – 10 x + 12
C'est la forme développée de
2( x – 3)( x + 2)(x – 1). 2. Racine(s) d'une fonction polynôme de
degré 3
On dit qu'un réel r est une racine
d'une fonction polynôme du troisième
degré f
d'expression f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
lorsque f(r) = 0,
c'est-à-dire lorsque ar 3 + br 2 + cr + d = 0. Dans cette fiche, nous traitons uniquement des
fonctions polynômes de degré 3 du type
x → a ( x – x 1)( x – x 2)( x – x 3). Les racines d'une fonction polynôme de
degré 3 du type x → a ( x – x 1)( x – x 2)( x – x 3)
sont x 1,
x 2
et x 3. Exemples
La fonction f: x →
2( x – 2)( x + 1)( x + 2)
admet 3 racines: –2;
–1
et 2.
Tableau De Signe Polynome Par
le signe d' un polynôme du second degré dans le cas d' un discriminant positif sur tableau-de-signe-d-un-polynome-du-second-degre-avec-discriminant-positif
x 2 = x 3,
l'intervalle] x 2; x 3 [
x 1 = x 2 = x 3,
les intervalles] x 1; x 2 [
et] x 2; x 3 [
n'existent pas. Exemple 1
La fonction f: x → 2( x – 2)( x + 1)( x + 2)
admet 3 racines: –2; –1
On a x 1 = –2;
x 2 = –1
et x 3
= 2. De plus, a = 2 > 0. Donc f est
négative sur]–∞; –2[
et sur]–1; 2[
et f est positive sur]–2; –1[
et sur]2; +∞[. Exemple 2
La fonction g: x → –3( x + 2)²( x –5)
admet 2 racines: –2 et 5. On a x 1 = x 2 = –2
et x 3 = 5. De plus, a = –3 < 0. Donc g est
positive sur]–∞; 5[
et g est négative sur]5; +∞[. 4. Résolution d'une équation avec la
fonction cube
Rappel
Résoudre l'équation x 2 = k
(avec k ≥ 0)
revient à chercher le(s) nombre(s) x tel(s) que x × x = k.
Si k = 0, alors la
solution est 0. Si k > 0, alors
les solutions sont k et – k.
Résoudre l'équation
x 3 = c
(avec) revient à chercher le
nombre x tel
que x × x × x = c. Ce nombre est unique, car pour tout nombre réel
c, la droite
d'équation y = c ne
coupe qu'une seule et unique fois la courbe
représentative de la fonction x → x 3.
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