Avant de lire ce cours sur les fonctions linéaires, il est plus judicieux de maîtriser le cours sur les fonctions, accessible en cliquant sur ce lien: Les fonctions
I. Fonctions linéaires
Définition:
Une fonction f f est linéaire s'il existe un nombre fixe a a tel que f f soit définie par x ⟼ a x x\longmapsto ax. La fonction f f peut alors être décrite par le processus « je multiplie par a a ». Le nombre a a s'appelle le coefficient de la fonction f f. Exemple:
f: x ⟼ 3 x f: x\longmapsto 3x est la fonction linéaire de coefficient 3: f ( x) = 3 x f(x)=3x. f: x ⟼ − 1 2 x f: x\longmapsto -\frac{1}{2}x est la fonction linéaire de coefficient − 1 2 -\frac{1}{2}: f ( x) = − 1 2 x f(x)=-\frac{1}{2}x
On peut alors associer à une situation de proportionnalité un fonction linéaire. Le périmètre d'un carré peut être défini par une fonction linéaire de coefficient 4. En formule, on obtient P ( x) = 4 x P(x)=4x
Si un kilogramme de fraises coute 5, 4 €, le prix étant proportionnel à la quantité choisie, on peut donc associer une fonction linéaire à cette situation.
Fonction Linéaire Et Proportionnalité 3Eme Exercices D’espagnol
Exercice 1
Déterminer le coefficient directeur de chacune des fonctions linéaires suivantes. $x\mapsto 3x$
$\quad$
$x \mapsto -7x$
$x \mapsto \dfrac{1}{4}x$
$x \mapsto -2, 4x$
$x \mapsto 0$
$x \mapsto -x$
$x\mapsto x$
$x \mapsto -\dfrac{5x}{7}$
Correction Exercice 1
$x\mapsto 3x$: le coefficient directeur est $3$. $x \mapsto -7x$: le coefficient directeur est $-7$. $x \mapsto \dfrac{1}{4}x$: le coefficient directeur est $\dfrac{1}{4}$. $x \mapsto -2, 4x$: le coefficient directeur est $-2, 4$. $x \mapsto 0$: le coefficient directeur est $0$. $x \mapsto -x$: le coefficient directeur est $-1$ car $-x=-1 \times x$. $x\mapsto x$: le coefficient directeur est $1$ car $x= 1\times x$. $x \mapsto -\dfrac{5x}{7}$: le coefficient directeur est $-\dfrac{5}{7}$ car $-\dfrac{5x}{7}=-\dfrac{5}{7}x$. [collapse]
Exercice 2
On considère une fonction linéaire $f$ telle que $15$ ait pour image $5$. Déterminer le coefficient directeur de la fonction $f$. Le résultat sera donné sous la forme d'une fraction irréductible.
Fonction Linéaire Et Proportionnalité 3Eme Exercices D
Fournir ensuite l'expression algébrique de la fonction $f$. Calculer les images de $2$, $-9$, $-3$ et $\dfrac{2}{5}$ par la fonction $f$. Déterminer les antécédents de $1$, $-\dfrac{4}{3}$, $9$ et $-12$ par la fonction $f$. Correction Exercice 2
$f$ est une fonction linéaire. On appelle $a$ son coefficient directeur. On sait que $f(15)=5$ donc $15a=5$. Par conséquent $a=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}$. Donc, pour tout nombre $x$ on a $f(x)=\dfrac{1}{3}x$. $f(2)=\dfrac{1}{3}\times 2 = \dfrac{2}{3}$
$f(-9)=\dfrac{1}{3}\times (-9)=-\dfrac{9}{3}=-3$
$f(-3)=\dfrac{1}{3} \times (-3)=\dfrac{3}{3}=1$
$f\left(\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{5}=\dfrac{2}{15}$
Antécédents de $1$: on cherche la valeur de $x$ telle que $f(x)=1$. Donc $\dfrac{1}{3}x=1$ soit $x=\dfrac{1}{\dfrac{1}{3}} = 3$
L'antécédent de $1$ est $3$. Antécédents de $-\dfrac{4}{3}$: on cherche la valeur de $x$ telle que $f(x)=-\dfrac{4}{3}$. Donc $\dfrac{1}{3}x=-\dfrac{4}{3}$ soit $x=\dfrac{-\dfrac{4}{3}}{\dfrac{1}{3}} = -4$
L'antécédent de $-\dfrac{4}{3}$ est $-4$.
Sa formule sera de la forme f ( x) = 5, 4 x f(x)=5, 4x
II. Représentation graphique
Propriété:
Dans un repère, une fonction f f est représentée par une droite passant par l'origine. Les points appartenant à la droite représentant la fonction ont tous des coordonnées du type ( x; a x) (x\;\ ax). f ( x) = 0, 5 x f(x)=0, 5x
Calculons l'image de x x par f f pour x = 2 x = 2.
f ( 2) = 0, 5 × 2 = 1 f(2)=0, 5\times 2=1
On obtient 1: on place le point de coordonnées ( 2; 1) (2\;\ 1) et on le relie à l'origine pour tracer notre droite. On place le point A A de coordonnées ( 2; 1) (2;1)
g ( x) = − 2 x g(x)=-2x
Calculons l'image de x x par g g pour x = 1 x = 1.
g ( 1) = − 2 × 1 = − 2 g(1)=-2\times 1=-2
On obtient -2: on place le point de coordonnées ( 1; − 2) (1\;\ -2) et on le relie à l'origine pour tracer notre droite. On place le point B B de coordonnées ( 1; − 2) (1;-2)
Coefficent directeur
Le coefficient a a de la fonction linéaire f: x ⟼ a x f:x\longmapsto ax donne des indications sur l' inclinaison de la droite: s'il est positif, la droite monte, s'il est négatif elle descend!
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