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Cet article m'a simplifié le ménage! Très bonne qualité de produit. Je suis très satisfaite de ma commande
Anonymous A., le 03/11/2015
suite à une commande du 22/10/2015
parfait
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Ainsi:
A \times B = 0 \Leftrightarrow A = 0 \; ou \; B =0 Un produit de facteurs est nul si et seulement l'un de ses facteurs au moins est nul. Résoudre une équation produit nul de la. Donc, pour tout réel x:
\left(1+x\right) \left(2x-4\right) =0
\Leftrightarrow 1+x = 0 \; ou \; 2x-4 = 0 On résout chacune des deux équations et on donne les solutions. On résout chacune des deux équations. Pour tout réel x:
1+x = 0
\Leftrightarrow x= -1
De plus, pour tout réel x:
2x-4 =0
\Leftrightarrow x= 2
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'équation est:
S = \left\{ -1; 2\right\}
Résoudre Une Équation Produit Null
Niveau moyen
Résoudre les équations suivantes sur les intervalles indiqués. Il est demandé de se ramener à des équations de type produit nul après avoir factorisé. $(E_1): \qquad 2x^3+x^2-6x=0$ sur $\mathbb{R}$. $(E_2): \qquad 3e^{1-x}-xe^{1-x}=0$ sur $\mathbb{R}$. $(E_3): \qquad e^{-x}-2e^{-2x}=0$ sur $\mathbb{R}$. $(E_4): \qquad x\ln(x+2)=x$ pour $x\gt -2$. Factorisons le membre de gauche de $(E_1)$ par $x$. $(E_1) \Leftrightarrow x(2x^2+x-6)=0$
Cette équation est de type produit nul. Résoudre une équation produit nul sur. $(E_1) \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad 2x^2+x-6=0$
Cette dernière équation est une équation du 2nd degré $ax^2+bx+c=0$ avec $a=2$, $b=1$ et $c=-6$. Calculons le discriminant. \Delta & =b^2-4ac \\
& =1^2-4\times 2\times(-6) \\
& = 1+48 \\
& = 49
On constate que $\Delta \gt 0$ donc cette équation admet exactement deux solutions:
x_1 & =\frac{-1-\sqrt{49}}{2\times 2} \\
& = \frac{-1-7}{4} \\
& = \frac{-8}{4} \\
&=-2
et
x_2 & =\frac{-1+\sqrt{49}}{2\times 2} \\
& = \frac{-1+7}{4} \\
& = \frac{6}{4} \\
&=1, 5
Finalement, l'équation $(E_1)$ admet trois solutions: $0$, $-2$ et $1, 5$.
Résoudre Une Équation Produit Nul De La
Factorisons le membre de gauche de $(E_2)$ par $e^{1-x}$. $(E_2) \Leftrightarrow e^{1-x}(3-x)=0$
$(E_2) \Leftrightarrow e^{1-x}=0 \qquad ou \qquad 3-x=0$
Comme la fonction exponentielle est strictement positive, l'équation $e^{1-x}=0$ n'a pas de solution. Cours : Équations produit nul. (E_2) & \Leftrightarrow 3-x=0 \\
& \Leftrightarrow x=3
L'équation $(E_2)$ admet une seule solution: $3$. On remarque (propriété de la fonction exponentielle) que:
$e^{-2x}=e^{-x}\times e^{-x}$
$(E_3) \Leftrightarrow e^{-x}-2e^{-x}\times e^{-x}=0$
Factorisons le membre de gauche par $e^{-x}$. $(E_3) \Leftrightarrow e^{-x}(1-2e^{-x})=0$
$(E_3) \Leftrightarrow e^{-x}=0 \qquad ou \qquad 1-2e^{-x}=0$
Comme la fonction exponentielle est strictement positive, l'équation $e^{-x}=0$ n'a pas de solution. (E_3) & \Leftrightarrow 1-2e^{-x}=0 \\
& \Leftrightarrow -2e^{-x}=-1 \\
& \Leftrightarrow 2e^{-x}=1 \\
& \Leftrightarrow e^{-x}=0, 5 \\
& \Leftrightarrow -x=\ln(0, 5) \\
& \Leftrightarrow x=-\ln(0, 5) \\
& \Leftrightarrow x=\ln(2)
( la dernière étape est facultative)
L'équation $(E_2)$ admet une seule solution: $\ln(2)$.
Règle du produit nul Fondamental: Règle du produit nul: Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Exemple: Résoudre l'équation \((x+5)(2-x)=0\). L'équation se présente sous la forme d'une équation-produit. Si on développe ce produit, on obtient une équation du second degré qu'on ne sait pas résoudre. On va donc garder la forme factorisée et utiliser la règle du produit nul. Équation produit nul - Quatrième Troisième. \((x+5)(2-x)=0\Longleftrightarrow x+5=0\ ou \ 2-x=0\) On ramène donc la résolution d'une équation du second degré à la résolution de deux équations du premier degré que l'on sait traiter. \(x+5=0\) permet d'écrire \(x=-5\) \(2-x=0\) permet d'écrire \(x=2\) L'équation \((x+5)(2-x)=0\) admet donc deux solutions: -5 et 2. On note l'ensemble des solutions est \(S=\{-5;2\}\). Attention: On ne confondra pas les crochets et les accolades dans la notation de l'ensemble des solutions. Les crochets désignent des intervalles (une infinité de nombres), alors que les accolades désignent un ensemble d'un ou plusieurs nombres solutions de l'équation.