↑ Jean Zinn-Justin, Intégrale de chemin en mécanique quantique: introduction, EDP Sciences, 2003, 296 p. ( ISBN 978-2-86883-660-1, lire en ligne). ↑ Robert Dautray, Méthodes probabilistes pour les équations de la physique, Eyrolles, 1989 ( ISBN 978-2-212-05676-1). Équation de la chaleur — Wikipédia. Voir aussi [ modifier | modifier le code]
Bibliographie [ modifier | modifier le code]
Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur, 1822 [ détail des éditions]
Jean Dhombres et Jean-Bernard Robert, Joseph Fourier (1768-1830): créateur de la physique-mathématique, Paris, Belin, coll. « Un savant, une époque, », 1998, 767 p. ( ISBN 978-2-7011-1213-8, OCLC 537928024)
Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle: théorie et applications [ détail des éditions]
Articles connexes [ modifier | modifier le code]
Géométrie spectrale
Thermodynamique hors équilibre
Liens externes [ modifier | modifier le code]
La théorie de la chaleur de Fourier appliquée à la température de la Terre, analyse d'un texte de 1827 de Fourier, sur le site BibNum.
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Equation Diffusion Thermique Experiment
1. Équation de diffusion
Soit une fonction u(x, t) représentant la température dans un problème de diffusion thermique, ou la concentration pour un problème de diffusion de particules. L'équation de diffusion est:
où D est le coefficient de diffusion et s(x, t) représente une source, par exemple une source thermique provenant d'un phénomène de dissipation. On cherche une solution numérique de cette équation pour une fonction s(x, t) donnée, sur l'intervalle [0, 1], à partir de l'instant t=0. La condition initiale est u(x, 0). Sur les bords ( x=0 et x=1) la condition limite est soit de type Dirichlet:
soit de type Neumann (dérivée imposée):
2. Méthode des différences finies
2. Cours 9: Equation de convection-diffusion de la chaleur: Convection-diffusion thermique. a. Définitions
Soit N le nombre de points dans l'intervalle [0, 1]. On définit le pas de x par
On définit aussi le pas du temps. La discrétisation de u(x, t) est définie par:
où j est un indice variant de 0 à N-1 et n un indice positif ou nul représentant le temps. Figure pleine page La discrétisation du terme de source est
On pose
2. b. Schéma explicite
Pour discrétiser l'équation de diffusion, on peut écrire la différence finie en utilisant les instants n et n+1 pour la dérivée temporelle, et la différence finie
à l'instant n pour la dérivée spatiale:
Avec ce schéma, on peut calculer les U j n+1 à l'instant n+1 connaissant tous les U j n à l'instant n, de
manière explicite.
Equation Diffusion Thermique Example
Résolution du système tridiagonal
Les matrices A et B étant tridiagonales, une implémentation efficace doit stocker seulement les trois diagonales, dans trois tableaux différents. On écrit donc le schéma de Crank-Nicolson sous la forme:
Les coefficients du schéma sont ainsi stockés dans des tableaux à N éléments a, b, c, d, e, f, s. On remarque toutefois que les éléments a 0, c N-1, d 0 et f N-1 ne sont pas utilisés. Méthode. Le système tridiagonal à résoudre à chaque pas de temps est:
où l'indice du temps a été omis pour alléger la notation. Le second membre du système se calcule
de la manière suivante:
Le système tridiagonal s'écrit:
La méthode d'élimination de Gauss-Jordan permet de résoudre ce système de la manière suivante. Les deux premières équations sont:
b 0 est égal à 1 ou -1 suivant le type de condition limite. On divise la première équation par ce coefficient, ce qui conduit à poser:
La première élimination consiste à retrancher l'équation obtenue multipliée par à la seconde:
On pose alors:
On construit par récurrence la suite suivante:
Considérons la kième équation réduite et la suivante:
La réduction de cette dernière équation est:
ce qui justifie la relation de récurrence définie plus haut.
Equation Diffusion Thermique Calculator
Pour finir, voyons les deux dernières équations:
La dernière équation réduite donne:
Il reste à calculer les en partant du dernier par la relation:
Les coefficients des diagonales sont stockés dans trois tableaux (à N éléments) a, b et c dès que les conditions limites et les pas sont fixés. Les tableaux β et γ (relations 1 et 2) sont calculés par récurrence avant le départ de la boucle d'itération. À chaque pas de l'itération (à chaque instant), on calcule par récurrence la suite (relation 3) pour k variant de 0 à N-1, et enfin la suite (relation 4) pour k variant de N-1 à 0. En pratique, dans cette dernière boucle, on écrit directement dans le tableau utilisé pour stocker les. Références
[1]
Numerical partial differential equations,
(Springer-Verlag,
2010)
[2]
J. H. Ferziger, M. Peric,
Computational methods for fluid dynamics,
(Springer,
2002)
[3]
R. Pletcher, J. C. Tannehill, D. Equation diffusion thermique experiment. A. Anderson,
Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer,
(CRC Press,
2013)
Contrairement au schéma explicite, il est stable sans condition. En revanche,
les à l'instant n+1 sont donnés de manière implicite. Il faut donc à chaque instant n+1 résoudre le système à N équations suivant:
Ce système est tridiagonal. On l'écrit sous la forme:
À chaque étape, on calcule la matrice colonne R et on résout le système. Pour j=0 et j=N-1, l'équation est obtenue par la condition limite. On peut aussi écrire le membre de droite sous la forme:
ce qui donne la forme matricielle
2. d. Equation diffusion thermique calculator. Analyse de stabilité de von Neumann
L'analyse de stabilité de von Neumann ( [2] [3]) consiste à ignorer les conditions limites et le terme de source, et à rechercher une solution de la forme suivante:
Il s'agit d'une solution dont la variation spatiale est sinusoïdale, avec un nombre d'onde β. Toute solution de l'équation de diffusion sans source et sans condition limite doit tendre vers une valeur uniformément nulle au temps infini. La méthode numérique utilisée est donc stable si
|σ|<1 quelque soit la valeur de β.
Signe., stamp., payé, cachet Éditeur d'image Sauvegarder une Maquette
Cachet Payé Livre.Fnac
Label vert autrichien attribué par le Ministère de l'Environnement Autrichien. Tampon encreur PAYÉ (Cachet Trodat spécial annotation de factures). Si vous recherchez un tampon formule payé avec une ligne date supplémentaire, il est possible d'en retrouver dans la gamme tampon dateur, vous avez seulement à personnaliser le tampon dateur de votre choix avec le texte « payé le». Réf. cassette: E/30-Rouge
Référence
CP30GL11
Fiche technique
Type
STANDARD
Encrage
Automatique
Matiere
PLASTIQUE
Forme
RECTANGULAIRE
Utilisation
CLASSIQUE
Fonctionnalite
Texte
Eco-responsable
PLASTIQUE RECYCLE
Marque
COLOP
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