Exemple: Pour tout réel \(x\), on pose \(g(x)=\dfrac{1}{12}x^4-\dfrac{2}{3}x^3+2x^2\). La fonction \(g\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(g'(x)=\dfrac{1}{3}x^3-2x^2+4x\) et \(g^{\prime\prime}(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(g^{\prime\prime}(x)\geqslant 0\). \(g\) est donc convexe sur \(\mathbb{R}\). Puisqu'il n'y a pas de changement de convexité, \(g\) ne présente pas de point d'inflexion, et ce, même si \(g^{\prime\prime}(2)=0\). Applications de la convexité
Inégalité des milieux
Soit \(f\) une fonction convexe sur un intervalle \(I\). Pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(I\),
\[ f\left( \dfrac{a+b}{2} \right) \leqslant \dfrac{f(a)+f(b)}{2}\]
On considère les points \(A(a, f(a))\) et \((b, f(b))\). Inégalité de convexité ln. Le milieu du segment \([AB]\) a pour coordonnées \(\left(\left(\dfrac{a+b}{2}\right), \dfrac{f(a)+f(b)}{2}\right)\). Or, la fonction \(f\) étant convexe sur \(I\), le segment \([AB]\) se situe au-dessus de la courbe représentative de \(f\).
Inégalité De Connexite.Fr
Convexité, concavité
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\). On dit que \(f\) est convexe sur \(I\) si tout segment reliant deux points de la courbe se trouve au-dessus de la courbe
On dit que \(f\) est concave sur \(I\) si tout segment reliant deux points de la courbe se trouve en-dessous de la courbe
Exemple: Les fonction \(x\mapsto x^2\), \(x\mapsto |x|\) et \(x\mapsto e^x\) sont convexes sur \(\mathbb{R}\). La fonction \(x\mapsto \sqrt{x}\) est concave sur \(\mathbb{R}_+\). Inégalité de convexité sinus. La fonction \(x\mapsto x^3\) est concave sur \(\mathbb{R}_-\) et convexe sur \(\mathbb{R}_+\). Exemple: Attention: on parle bien de convexité sur un intervalle. Par ailleurs, ce n'est pas parce qu'une fonction \(f\) est convexe sur deux intervalles \([a, b]\) et \([b, c]\) que \(f\) est aussi convexe sur \([a, c]\). La fonction représentée ci-dessus est convexe sur \([-3;0]\) et sur \([0;3]\) mais n'est pas convexe sur \([-3, 3]\).
Inégalité De Convexité Sinus
Soit $aInégalité de convexité exponentielle. Montrer que $f$ est constante
ou que $\lim_{+\infty}f=+\infty$. Enoncé Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction convexe. On suppose que $\lim_{+\infty}f=0$. Montrer que $f\geq 0$. Montrer que la somme d'une fonction convexe et d'une fonction affine est convexe. On suppose que la courbe représentative de $f$ admet une asymptote. Montrer que la courbe est (toujours) au-dessus
de l'asymptote. Divers
Enoncé Soit $f:[a, b]\to\mathbb R$ une fonction convexe.
Inégalité De Convexité Exponentielle
Par un argument géométrique (trapèze sous la courbe) la concavité donne
x f ( 0) + f ( x) 2 ≤ ∫ 0 x f ( t) d t . On en déduit x f ( x) ≤ 2 ∫ 0 x f ( t) d t - x donc
∫ 0 1 x f ( x) d x ≤ 2 ∫ x = 0 1 ( ∫ t = 0 x f ( t) d t) d x - 1 2 (1). Or
∫ x = 0 1 ∫ t = 0 x f ( t) d t d x = ∫ t = 0 1 ∫ x = t 1 f ( t) d x d t = ∫ t = 0 1 ( 1 - t) f ( t) d t = ∫ 0 1 f ( t) d t - ∫ 0 1 t f ( t) d t . La relation (1) donne alors
3 ∫ 0 1 x f ( x) d x ≤ 2 ∫ 0 1 f ( t) d t - 1 2 (2). Enfin
2 ( ∫ 0 1 f ( t) d t - 1 2) 2 ≥ 0
donne
2 ( ∫ 0 1 f ( t) d t) 2 ≥ 2 ∫ 0 1 f ( t) d t - 1 2 (3). Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen — Wikiversité. Les relations (2) et (3) permettent alors de conclure. [<] Étude de fonctions [>] Inégalité arithmético-géométrique
Édité le 09-11-2021
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Inégalité De Convexité Ln
\ln b}$. Enoncé Montrer que, pour tout $x\in[0, \pi/2]$, on a
$$\frac{2}\pi x\leq \sin x\leq x. $$
Enoncé Soit $n\geq 2$. Étudier la convexité de la fonction $f$ définie sur $[-1;+\infty[$ par $f(x)=(1+x)^n$. En déduire que, pour tout $x\geq -1$, $(1+x)^n\geq 1+nx$. Enoncé Soient $a_1, \dots, a_n$ des réels strictement positifs. Prouver l'inégalité suivante:
$$\sqrt[n]{a_1\dots a_n}\leq\frac{a_1+\dots+a_n}{n}. $$
Enoncé Soit $f$ une fonction convexe de classe $C^1$ sur $[a, b]$. Montrer que
$$(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)\leq \int_a^b f(t)dt\leq (b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}. Définition d'une fonction convexe par une inégalité - Annales Corrigées | Annabac. $$
Enoncé Soit $f:[a, b]\to\mathbb R$ de classe $C^2$ telle que $f(a)=f(b)=0$. On note $M=\sup_{[a, b]}|f''|$
et
$$g(x)=f(x)-M\frac{(x-a)(b-x)}{2}\textrm{}\quad\quad h(x)=f(x)+M\frac{(x-a)(b-x)}{2}. $$
Justifier l'existence de $M$. Montrer que $g$ est convexe et que $h$ est concave. En déduire que, pour tout $x\in[a, b]$, on a
$$|f(x)|\leq M\frac{(x-a)(b-x)}{2}. $$
Démontrer que la fonction $f:x\mapsto \ln(1+e^x)$ est convexe sur $\mathbb R$.
Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation, Ciarlet
Oraux X-ENS Algèbre 3, Francinou, Gianella, Nicolas
Elements d'analyse fonctionnelle, Hirsch
Fichier:
253 - Utilisation de la notion de convexité en
Plan de F. A. Remarque:
Toutes les références sont à la fin du plan. Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
253 -
Plan de Marvin
Analyse fonctionnelle - Théorie et applications, Brezis, Haim
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
Leçon
2019: Leçon 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse. Plan de Coquillages & Poincaré
2018: Leçon 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse. Exercices corrigés -Convexité. 2017: Leçon 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse. 2016: Leçon 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse. Retours d'oraux:
2020
Retour de Marvin (Analyse)
Leçon choisie:
253: Utilisation de la notion de convexité en analyse. Autre leçon:
235: Problèmes d'interversion de limites et d'intégrales.
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Entre 5 à 10% des bâtiments cultuels devraient être vendus d'ici à 2030, à des prix parfois très abordables. Mais si cela peut être une excellente affaire, le coût des travaux est généralement très élevé. La France compte près de 100 000 bâtiments religieux
Depuis plusieurs années, la France est dans l'obligation de vendre certains d'entre eux, incapable de faire face à des travaux trop élevés. Résultat, chaque année, ce sont entre 10 et 20 chapelles ou églises qui sont mises en vente. Et la tendance est loin de se tasser: 5 à 10% des 100 000 bâtiments recensés seront vendus, détruits, et voire même abandonnés d'ici à 2030 prévoit l' Observatoire du patrimoine religieux. Des entreprise, des institutions, voire des particuliers peuvent être concernés par ce type d'achat. Certains lieux changent complètement de destination. Autel église à vendre a paris. Une chapelle jésuite du nord du pays a même été transformée en boite de nuit. Une seule condition religieuse s'impose: le lieu doit être désacralisé, avec l'autorisation du clergé et de la préfecture.
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