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Bus: C11, C3 Métro: A
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Pour résoudre un problème de statique ou de dynamique du solide, il faut calculer le moment de toutes les forces par rapport à un même point. Avec le formalisme des torseurs, on parle de « transporter les torseurs » en un même point. Lorsque l'on transporte le torseur, la première colonne (composantes X, Y, Z) ne change pas, mais la seconde (L, M, N) est modifiée par le moment de la force. On utilise les termes de: Soit une force appliquée en un point A. En un point B quelconque de l'espace, il est possible de définir un vecteur moment de cette force,. Par construction, le champ des moments est équiprojectif, c'est donc un torseur des actions mécaniques. La force représente une interaction entre deux corps. Le torseur est une représentation de l'effet mécanique de l'interaction. Si les corps sont appelés i et j, l'action de j sur i est habituellement notée « j / i » ou bien « j → i ». Le champ des moments est donc noté ou bien. Deux torseurs peuvent-être décrits: - le torseur équivalent: qui est la réduction du système de force en une force résultante et un moment résultant.
Torseur Des Actions Mecanique Les
Éléments de réduction
Comme tous les torseurs, le torseur cinématique peut être représenté par des éléments de réduction en un point, c'est-à-dire par la donnée de sa résultante et d'une valeur de son moment en un point A particulier. On note alors:. Cela se lit: « le torseur V de S par rapport à R à pour élément de réduction oméga de S par rapport à R et V de A de S par rapport à R ». Représentation en coordonnées cartésiennes
Le référentiel R est muni d'un repère orthonormé direct. Les vecteurs rotation et vitesse peuvent donc s'écrire en coordonnées cartésiennes:;. Le torseur peut alors se noter:
ou de façon équivalente:
Il est utile de préciser le repère dans lequel on exprime les composantes des vecteurs si l'on a besoin d'effectuer un changement de repère (voir ci-dessous la section #Torseur cinématique des liaisons parfaites). Calcul des éléments de réduction en un autre point du solide
La règle du transport des moments, qui s'applique à tout torseur, permet de calculer les éléments de réduction du torseur en un point quelconque si on les connaît en un point donné:
Représentation d'un torseur cinématique
Pour tout point P du solide en mouvement, le vecteur vitesse est une combinaison de
et du terme:
Loi de composition des mouvements
En relativité galiléenne, la loi de composition des mouvements s'exprime de manière simple:.
Torseur Des Actions Mécaniques
Considérons un système composé d'un piston (noté 1), d'une bielle (notée 2) et d'un vilebrequin (noté 3), le bâti étant noté 0. La longueur OB de manivelle vaut 30 mm, la longueur AB de la bielle vaut 80 mm. Le système tourne avec une fréquence N = 3 000 tr/min. Quelle est la vitesse du piston V( A ∈1/0) lorsque le vilebrequin fait un angle ( x, OB) = 150 °? Les coordonnées des points sont (en mètre):. La loi de composition des mouvements s'écrit:. Il est à noter que l'on peut aussi considérer la chaîne cinématique fermée 0 → 1 → 2 → 3 → 0, ce qui nous donne l'équation équivalente:. Toutes les composantes sont exprimées dans le repère; on omettra donc d'indiquer le repère afin d'alléger la notation. D'après la nature des liaisons, on a:
liaison 1/0 pivot-glissant d'axe Ax:;
liaison 1/2 pivot-glissant d'axe Az:;
liaison 2/3 pivot d'axe Bz:;
liaison 3/0 pivot d'axe Oz:
avec ω z (3/0) = π × N/30 = 314 rad s −1. On applique la simplification des problèmes plans:
On vérifie que l'on n'a pas plus de trois inconnues.
Torseur Des Actions Mecanique Pour
Le torseur cinématique est un outil physique utilisé couramment en mécanique du solide. Il permet de représenter de façon pratique le champ des vitesses d'un solide indéformable et donc de décrire les comportements de translation et de rotation d'un tel solide, en général dans un repère orthonormé direct. Comme son nom l'indique, il décrit la cinématique du solide indépendamment des causes du mouvement qui sont du ressort de la dynamique du solide. Il est important de ne pas le confondre avec le torseur cinétique, lequel est lié à la quantité de mouvement et au moment cinétique total du solide, c'est-à-dire des notions dynamiques. Définition
Illustration concrète de la notion d'équiprojectivité du champ des vitesses d'un solide. Soit un référentiel R, et un solide S. On peut définir en tout point M du solide le vecteur vitesse, dont la norme est exprimée en m s −1; il s'agit d'un champ vectoriel. Dans le cas d'un solide indéformable, on peut montrer que ce champ est équiprojectif ( cf.
Pour minimiser le nombre de calculs, on transporte les torseurs là où il y a plus d'inconnues, c'est-à-dire en A:. Soit:
La loi de composition des mouvements nous donne:. D'où:. On a donc:. Et enfin:. On remarquera au passage que la troisième équation (l'équation des vitesses de rotation) était inutile. Notes et références
Bibliographie
Michel Combarnous, Didier Desjardins et Christophe Bacon, Mécanique des solides et des systèmes de solides, Dunod, coll. « Sciences sup », 2004, 3 e éd. ( ISBN 978-2-10-048501-7)
José-Philippe Pérez, Cours de Physique: mécanique: Fondements et applications, Masson, coll. « Masson Sciences », 2001, 6 e éd., 748 p. ( ISBN 978-2-10-005464-0)
Jean-Louis Fanchon, Guide de mécanique, Nathan, 2007, 543 p. ( ISBN 978-2-09-178965-1), p. 190-194
Voir aussi
Torseur
Torseur statique
Torseur dynamique
Torseur cinétique
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