ce qu'il faut savoir... Déterminer un ensemble de définition
Étudier le signe d'un polynôme
Dresser un tableau de signes
Résoudre une inéquation
Représenter une parabole
Trouver les coordonnées du sommet
Calculer un axe de symétrie
Exercices pour s'entraîner
- Signe d un polynome du second degré nd degre exercice avec corriger
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Signe D Un Polynome Du Second Degré Nd Degre Exercice Avec Corriger
a < 0 donc
la parabole est tournée vers le bas,
avec x 2 = –4
L'ensemble solution de l'inéquation est
donc]–∞; –4[ ∪]5; +∞[. b. Autres cas
Que f soit
sans racine (comme f ( x) = x ² + 1
par exemple) ou avec une seule racine (appelée
racine « double », comme
f ( x) = 5( x – 2)²
par exemple), la parabole va rester du même
côté de l'axe des abscisses, sans le
toucher dans le premier cas, avec un point de contact
unique dans le deuxième cas (en x = 2 si
par exemple). Conséquence: le signe de f ne change pas
sur, et f est donc du signe
de a. Résoudre 3( x – 2)² ≥ 0:
Posons f ( x) = 3( x – 2)²,
f a une
seule racine: 2, et pour f on a:
a = 3 > 0. Calculer le discriminant Δ d'un polynôme du second degré et étudier son signe. Ainsi f
est positive sur, l'ensemble des solutions est
donc.
Signe D Un Polynome Du Second Degré French
Par conséquent, la courbe représentative
d'une fonction polynôme du
type est symétrique par
rapport à l'axe des ordonnées du
repère. On a vu au paragraphe précédent que
le sommet S d'une
parabole d'équation était le point de
la parabole d'abscisse. Ici, comme b = 0, le sommet S de la
parabole a pour abscisse. et
pour ordonnée. Fonctions polynômes de degré 2 : définition et représentation - Maxicours. Le sommet de la parabole est donc le
point O (0; 0). Exemple
Soit f ( x) =
0, 2 x 2. On peut
dresser un tableau de valeurs de f:
f ( x)
1, 8
0, 8
0, 2
puis, placer les points de coordonnées
( x;
f ( x)) dans un repère et
enfin, tracer la courbe passant par ces points:
c. Cas particulier lorsque c = 0
type. La courbe représentative
d'une fonction du type est la même que
celle de la fonction mais
« décalée » vers le haut
ou vers le bas en fonction de la valeur de b.
Reprenons la fonction f ( x) =
0, 2 x 3 de
l'exemple précédent, et
considérons les fonctions g et h définies par
g ( x) = 0, 2 x 2 +
2 et h ( x) = 0, 2 x 2 –
3. Visualisons leur représentation graphique
dans un même repère:
On remarque que, par rapport à la courbe de
f, la
courbe de g est
« décalée » de 2
vers le haut ( b = 2) et que celle de
h est
« décalée » de 3 vers le
bas ( b =
–3).
Signe D Un Polynome Du Second Degré De
Ce sont les coordonnées du sommet
de la
parabole: S(1, 5; –1, 25). Exemple 2: cas où
On va étudier la fonction g
définie sur l'intervalle [-2; 6]
par. Ici. Un tableau de valeurs
obtenu avec la calculatrice est:
–2
6
g(x)
–3
0, 5
4, 5
coordonnées du curseur X = 2 et
Y = 5. Ce sont les coordonnées du
sommet de la parabole: S(2; 5). La parabole admet un axe de symétrie
vertical d'équation. On a vu au paragraphe précédent que le
sommet de la parabole avait pour
abscisse. L'axe de symétrie de la parabole passe donc par
ce sommet. Signe d un polynome du second degré nd degre exercice avec corriger. Exemple 1
Reprenons l'exemple 1 du paragraphe
précédent. La parabole représentative de la
fonction f définie
sur l'intervalle [-1; 4] par admet un axe de
symétrie
Exemple 2
Reprenons l'exemple 2 du paragraphe
fonction g définie
sur l'intervalle [-2; 6] par admet un axe de symétrie
b. Cas particulier lorsque b = 0 et c = 0
Parmi les fonctions polynômes du second
degré, on considère celles du
type. Pour tout réel x, on a f ( –x) =
a ( –x) 2 =
ax 2 =
f ( x). La fonction f est donc paire.
Signe D Un Polynome Du Second Degré Model
Nous allons ici étudier un type de fonctions
liées à la fonction carrée. 1. Fonction polynôme de degré 2
Une fonction (polynôme) du second
degré est une fonction qui peut
s'écrire sous la forme, avec a un réel non nul,
b et
c deux
réels. Remarque
Une fonction du second degré peut s'écrire
sous plusieurs formes. On appelle forme
développée la forme. La forme est la forme factorisée. 2. Signe d un polynome du second degré de. Représentation graphique
a. Cas général
On appelle parabole la courbe
représentative d'une fonction du second
degré. La parabole a pour équation, avec a un réel non
nul, b et
L'allure de la parabole
d'équation dépend du signe
de a:
Moyen mnémotechnique: lorsqu'on est
positif, on sourit, alors que lorsqu'on est
négatif, on fait la moue. Le sommet S de la parabole est le point de la parabole
d'abscisse. Exemple 1: cas où
On va étudier la fonction f
définie sur l'intervalle [-1; 4]
par. Ici. Un tableau de valeurs obtenu avec la calculatrice
est:
x
–1
0
1
2
3
4
f(x)
5
D'après ce tableau on peut lire
que. Sur le graphique ci-dessous, on lit les
coordonnées du curseur X = 1, 5 et Y =
–1, 25.
Alors: $\quad\bullet$ Si $a>0$, alors la fonction $P$ est strictement décroissante sur $]-\infty; \alpha]$ et strictement croissante sur $[\alpha; +\infty[$. Elle admet un minimum égal à $\beta$, atteint en $x=\alpha$. $\quad\bullet$ Si $a>0$, alors la fonction $P$ est strictement croissante sur $]-\infty; \alpha]$ et strictement décroissante sur $[\alpha; +\infty[$. Elle admet un maximum égal à $\beta$, atteint en $x=\alpha$. Tableaux de variations pour $a>0$ et $a<0$:
9. 2 Exemples
Exercice résolu n°1. On considère les fonctions suivantes: $f(x)=2 x^2+5 x -3$; $\quad$ a) Déterminer le sommet de la parabole; $\quad$ b) Dresser le tableau de variation; $\quad$ c) Construire la courbe représentative $\cal P$. Représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré - Logamaths.fr. Corrigé. 1°) On considère la fonction polynôme suivante: $f(x)=2 x^2+5 x -3$. On commence par identifier les coefficients: $a=2$, $b=5$ et $c=-3$. a) Recherche du sommet de la parabole ${\cal P}$. Je calcule $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$. $\alpha = \dfrac{-5}{2\times 2}$. D'où $\alpha = \dfrac{-5}{4}$.
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