Définition: On dit qu'une relation est une relation d'équivalence si elle est:
symétrique [ 1]: \(\forall x\in E, ~\forall y\in E, ~ x \color{red}R\color{black} y\Rightarrow y \color{red}R\color{black} x, \)
réflexive [ 2]: \(\forall x\in E, ~x \color{red}R\color{black} x, \)
transitive [ 3]: \(\forall x\in E, ~\forall y\in E, ~\forall z\in E, ~ (x \color{red}R\color{black} y ~\textrm{et}~ y \color{red}R\color{black} z)\Rightarrow x \color{red}R\color{black} z. \)
Dans le cas d'une relation d'équivalence, deux éléments en relation sont aussi dits équivalents. Exemple: Sur tout ensemble, l'égalité de deux éléments. Sur l'ensemble des droites (du plan ou de l'espace), la relation " droites parallèles ou confondues ". Sur l'ensemble des bipoints du plan (ou de l'espace), la relation d'équipollence. Pour les angles du plan, la relation de congruence modulo \(2\pi. \)
Dans \(\mathbb Z, \) la relation \(x \equiv y \mod (n), \) si \(x - y\) est divisible par l'entier \(n. \)
Dans \(E = \mathbb N \times \mathbb N, \)
\((a, b) \color{red}R\color{black} (a', b')\Leftrightarrow a + b' = a' + b. \)
Dans \(E = \mathbb Z \times \mathbb Z^*, \)
\((p, q) \color{red}R\color{black} (p', q')\Leftrightarrow pq' = p'q.
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Relation D Équivalence Et Relation D Ordre Des Experts
L'ensemble des classes d'équivalence forme une partition de E.
Démonstration
Par réflexivité de ~, tout élément de E appartient à sa classe, donc:
les classes sont non vides et recouvrent E;
[ x] = [ y] ⇒ x ~ y. Par transitivité, x ~ y ⇒ [ y] ⊂ [ x] donc par symétrie, x ~ y ⇒ [ x] = [ y]. D'après cette dernière implication, ( x ~ z et y ~ z) ⇒ [ x] = [ y] donc par contraposition, deux classes distinctes sont disjointes. Inversement, toute partition d'un ensemble E définit une relation d'équivalence sur E. Ceci établit une bijection naturelle entre les partitions d'un ensemble et les relations d'équivalence sur cet ensemble. Le nombre de relations d'équivalence sur un ensemble à n éléments est donc égal au nombre de Bell B n, qui peut se calculer par récurrence. Exemples [ modifier | modifier le code]
Le parallélisme, sur l'ensemble des droites d'un espace affine, est une relation d'équivalence, dont les classes sont les directions. Toute application f: E → F induit sur E la relation d'équivalence « avoir même image par f ».
Relation D Équivalence Et Relation D'ordres
Sommaire
Montrer que c'est une relation d'équivalence
Classes d'équivalence
Montrer que c'est une relation d'ordre
Ordre partiel et total
L'exercice consiste à montrer que les relations suivantes sont des relations d'équivalence:
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Dans la première vidéo, il faut montrer que la relation suivante est une relation d'équivalence, et trouver les classes d'équivalence:
Dans la deuxième vidéo, même énoncé avec la relation suivante:
Idem pour la troisième vidéo, avec une relation un peu plus difficile:
Deuxième question:
La question est de trouver la classe d'équivalence de (p;q). Dans la 4ème vidéo, il faut également montrer dans un premier temps que la relation suivante est une relation d'équivalence. Il faudra ensuite donner la classe d'équivalence de (1; 0), (0; -1) et (1; 1), puis en déduire les classes d'équivalence de la relation R.
L'exercice consiste à montrer que la relation suivante est une relation d'ordre:
L'exercice est le même que précédemment (montrer que c'est une relation d'ordre) mais on demande en plus si c'est un ordre partiel ou total:
Même question avec Z à la place de Z.
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Relation D Équivalence Et Relation D Ordre De Malte
La notion ensembliste de relation d'équivalence est omniprésente en mathématiques. Elle permet, dans un ensemble, de mettre en relation des éléments qui sont similaires par une certaine propriété. On pourra ainsi regrouper ces éléments par « paquets » d'éléments qui se ressemblent, définissant ainsi la notion de classe d'équivalence, pour enfin construire de nouveaux ensembles en « assimilant » les éléments similaires à un seul et même élément. On aboutit alors à la notion d' ensemble quotient. Sur cet ensemble de huit exemplaires de livres, la relation « … a le même ISBN que … » est une relation d'équivalence. Définition [ modifier | modifier le code]
Définition formelle [ modifier | modifier le code]
Une relation d'équivalence sur un ensemble E est une relation binaire ~ sur E qui est à la fois réflexive, symétrique et transitive. Plus explicitement:
~ est une relation binaire sur E: un couple ( x, y) d'éléments de E appartient au graphe de cette relation si et seulement si x ~ y. ~ est réflexive: pour tout élément x de E, on a x ~ x.
Combien y-a-t-il d'éléments dans cette classe? Enoncé On munit l'ensemble $E=\mathbb R^2$ de la relation $\cal R$ définie par
$$(x, y)\ {\cal R}\ (x', y')\iff\exists a>0, \ \exists b>0\mid x'=ax{\rm \ et\}y'=by. $$
Montrer que $\cal R$ est une relation d'équivalence. Donner la classe d'équivalence des éléments $A=(1, 0)$, $B=(0, -1)$ et $C=(1, 1)$. Déterminer les classes d'équivalence de $\mathcal{R}$. Enoncé Soit $E$ un ensemble. On définit sur $\mathcal P(E)$, l'ensemble des parties de $E$, la relation suivante:
$$A\mathcal R B\textrm{ si}A=B\textrm{ ou}A=\bar B, $$
où $\bar B$ est le complémentaire de $B$ (dans $E$). Démontrer que $\mathcal R$ est une relation d'équivalence. Enoncé On définit sur $\mathbb Z$ la relation $x\mathcal R y$ si et seulement si
$x+y$ est pair. Montrer qu'on définit ainsi une relation d'équivalence. Quelles sont les classes d'équivalence de cette relation? Enoncé Soit $E$ un ensemble et $A\in\mathcal P(E)$. Deux parties $B$ et $C$ de $E$ sont en relation, noté $B\mathcal R C$, si $B\Delta C\subset A$.
Soit M un point du plan qui n'est pas l'origine: Cl(M) = \{N \in P \backslash O, O, M, N \text{ alignés}\} Par définition, il s'agit de la droite (OM). Exercice 901 Question 1 La relation est bien réflexive: Elle est symétrique: \text{Si} X \cap A =Y\cap A \text{ alors} Y\cap A= X \cap A Et elle est bien transitive: Si Et Alors X \cap A =Y\cap A = Z \cap A Question 2 Utilisations la définition: Cl(\emptyset) = \{ X \subset E, X \cap A = \emptyset \}=\{X \in E, X \subset X \backslash A \} C'est donc l'ensemble des sous-ensembles qui ne contiennent aucun élément de A. Passons à A: Cl(A) = \{ X \subset E, X \cap A =A\cap A= A \}=\{X \in E, A \subset X \} C'est donc l'ensemble des sous-ensembles contenant A. Et maintenant E. Comme E est inclus dans la classe de A, en utilisant la propriété sur les classes, on obtient directement: Cl(E) = \{ X \subset E, X \cap A =E\cap A= A \} = Cl(A) Question 3 Soit X un sous-ensemble de E. On sait que Cl(X) = \{Y \subset E, Y \cap A= X\cap A\} Si on pose On a C'est donc un représentant de X inclus dans A. Montrons qu'il est unique.
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Portrait de la célèbre écrivain britannique Jane Austen, au travers de son histoire d'amour vécue, à l'aube de ses vingt ans, avec Tom Lefroy... En 1795, la famille du révérend Austen n'a qu'une préoccupation: trouver à Jane, qui va avoir 20 ans, un bon parti afin de la marier au plus vite. Mais Jane est une passionnée qui n'imagine pas un seul instant épouser un homme qu'elle n'aime pas. Dotée d'une intelligence et d'une créativité surprenantes pour son siècle, elle montre de plus un indéniable talent pour l'écriture. Refusant de céder aux injonctions de son père, Jane multiplie les effronteries. C'est alors qu'elle croise le chemin d'un jeune homme peu banal, Tom Lefroy. Sous le charme, celui-ci tente de montrer à Jane que rien ne pourra jamais entraver son talent d'écrivain... Langue:
VOSTFR
SD
Durée:
2h00
Année de production:
2006
Date de sortie en salle:
17/10/2007
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