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Calculer $lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)\;;\qquad \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)$
Exercice 5
$$f(x)=x+\dfrac{\sqrt{x^{2}}}{x}$$
a-t-elle une limite pour arbitrairement voisin de 0?
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Exercice 5
Soient $f$ la fonction définie sur $\R\setminus\{-1;1\}$ par $f(x) = \dfrac{3x^2-4}{x^2-1}$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative. Montrer que $\mathscr{C}_f$ possède une asymptote horizontale. Etudier sa position relative par rapport à cette asymptote. Déterminer $\lim\limits_{x\rightarrow 1^-} f(x)$ et $\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} f(x)$. Série d'exercices sur les limites et continuité 1e S | sunudaara. Que peut-on en déduire? Existe-t-il une autre valeur pour laquelle cela soit également vrai? Correction Exercice 5
D'après la limite du quotient des termes de plus haut degré on a:
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = $ $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{3x^2}{x^2} = 3$
De même $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 3$. Par conséquent $\mathscr{C}_f$ possède une asymptote horizontale d'équation $y=3$
Étudions le signe de $f(x)-3$
$\begin{align} f(x)-3 &= \dfrac{3x^2-4}{x^2-1} – 3 \\\\
&= \dfrac{3x^2-4 -3^\left(x^2-1\right)}{x^2-1} \\\\
&= \dfrac{-1}{x^2-1}
\end{align}$
$x^2-1$ est positif sur $]-\infty;-1[ \cup]1;+\infty[$ et négatif sur $]-1;1[$.
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$
En déduire que $f$ admet une limite en $(0, 0)$. Enoncé Les fonctions suivantes ont-elles une limite (finie) en $(0, 0)$? $f(x, y)=(x+y)\sin\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right)$
$f(x, y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$
$f(x, y)=\frac{|x+y|}{x^2+y^2}$
Enoncé Les fonctions suivantes ont-elles une limite en l'origine? $\dis f(x, y, z)=\frac{xy+yz}{x^2+2y^2+3z^2}$;
$\dis f(x, y)=\left(\frac{x^2+y^2-1}{x}\sin x, \frac{\sin(x^2)+\sin(y^2)}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$. Exercices corrigés - maths - TS - limites de fonctions. $\dis f(x, y)=\frac{1-\cos(xy)}{xy^2}$. Enoncé Soient $\alpha, \beta>0$. Déterminer, suivant les valeurs de $\alpha$ et $\beta$, si la fonction
$$f(x, y)=\frac{x^\alpha y^\beta}{x^2+y^2}$$
admet une limite en $(0, 0)$. Continuité
Enoncé Soit $f$ la fonction définie sur $\mtr^2$ par
$$f(x, y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\textrm{ si}(x, y)\neq (0, 0)\textrm{ et}f(0, 0)=0. $$
La fonction $f$ est-elle continue en (0, 0)? Enoncé Démontrer que la fonction $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ définie par
$$f(x, y)=\left\{
\begin{array}{ll}
2x^2+y^2-1&\textrm{ si}x^2+y^2>1\\
x^2&\textrm{ sinon}
\right.
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$$
soit continue sur son domaine de définition. 2) Soit $f_{a}$ la fonction définie par:
$$\left\lbrace\begin{array}{lllll} f_{a}(x) &=& \dfrac{\sqrt{x^{2}+3x}-\sqrt{x^{2}+ax+a}}{x-2} & \text{si} & x\neq 2 \\ \\ f_{a}(2) &=& k& & \end{array}\right. $$
Quelles valeurs faut-il donner à $a$ et $k$ pour que $f$ soit continue au point $x_{0}=2$? Exercice 14
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{3\}$ par:
$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lcl} mx+\dfrac{x^{2}-9}{x-3} & \text{si} & x>3 \\ \\ \dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x-2} & \text{si} & x<3 \end{array}\right. Limite et continuité d une fonction exercices corrigés un. $$
Déterminer
$\lim_{x\rightarrow 3^{+}}f(x)\text{ et}\lim_{x\rightarrow 3^{-}}f(x)$
Pour quelle valeur de $m$ $f$ est-elle prolongeable par continuité en 3? Exercice 15
Soit la fonction $f$ définie sur $]1\;;\ +\infty[$ par:
$$f(x)=\dfrac{x^{3}-2x^{2}+x-2}{x^{2}-3x+2}$$
Déterminer la limite de $f$ en 2
La fonction $f$ est-elle prolongeable par continuité en 2? Si oui définir ce prolongement. Exercice 16
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ par:
$$f(x)=\dfrac{2x^{2}+|x|}{x}$$
La fonction $f$ est-elle prolongeable par continuité en 0?
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