Dans l'exemple, la vérification est évidente, mais ce n'est pas toujours le cas. - Edité par Sennacherib 17 avril 2017 à 9:35:42
tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
17 avril 2017 à 9:38:56
J'ai complètement oublié cette partie du théorème, désolé négligence de ma part! Merci pour votre aide! Intégrale à paramètre
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Intégrale À Paramètre Exercice Corrigé
Inscription / Connexion Nouveau Sujet Posté par Leitoo 24-05-10 à 18:29 Bonjour,
J'ai un petit exercice qui me bloque. Pour un réeel a, on note sa partie entière [a]. On considère la fonction. On notera h(x, t) l'intégrande. 1. Montrer que f est définie sur]0;+oo[
2. Montrer qu'elle est continue sur]0;+oo[
3. Calculer f(1)
4. Etudier les limites au bornes. Pour la question 1., si on montre tout de suite la continuité grâce aux théorème de continuité des intégrales à paramètres au on aura automatiquement le fait qu'elle soit bien définie. Comment le montrer autrement
Pour la question 2. - A x fixé dans]0;+oo[ t->h(x, t) est C0 par morceaux sur]0;+oo[. - A t fixé dans]0;+oo[ x->h(x, t) est C0 sur]0;+oo[. -
Mais comment montrer que g(t) est intégrable, je pense qu'il faut faire un découpage. Merci de votre aide. Posté par perroquet re: Intégrale à paramètre, partie entière. 24-05-10 à 18:40 Bonjour, Leitoo
Pour montrer que f(x) est bien définie, il suffit de montrer que t->h(x, t) est intégrable sur]0, + [.
Intégrale À Paramètre Bibmath
En coordonnées polaires (l'axe polaire étant OA), la lemniscate de Bernoulli admet pour équation:
En coordonnées cartésiennes (l'axe des abscisses étant OA), la lemniscate de Bernoulli a pour équation (implicite):
L'abscisse x décrit l'intervalle [– a, a] (les bornes sont atteintes pour y = 0). L'ordonnée y décrit l'intervalle (les bornes sont atteintes pour). La demi-distance focale est
En partant de l'équation en coordonnées polaires ρ 2 = a 2 cos2 θ on peut représenter la lemniscate de Bernoulli par les deux équations suivantes, en prenant pour paramètre l'angle polaire θ:
Propriétés [ modifier | modifier le code]
Longueur [ modifier | modifier le code]
La longueur de la lemniscate de Bernoulli vaut:
où M ( u, v) désigne la moyenne arithmético-géométrique de deux nombres u et v, est une intégrale elliptique de première espèce et Γ est la fonction gamma. Superficie [ modifier | modifier le code]
L'aire de la lemniscate de Bernoulli est égale à l'aire des deux carrés bleus
L'aire délimitée par la lemniscate de Bernoulli vaut:
Quadrature de la lemniscate: impossible pour le cercle, la quadrature exacte est possible pour la lemniscate de Bernoulli.
Intégrale À Paramètres
t-[t] vaut 1 si t est entier et les décimales de t si il est réel quelconque. Autrement dit on a une fonction 1-périodique qui vaut sur [0, 1] la fonction identité. Pour la coupe je verrais donc une coupe du genre
Merci de ton aide. Posté par gui_tou re: Calcul d'intégrale 24-05-10 à 20:55 Excellent pour la découpe. Avec le changement de variable, on a:
Après, décomposition en éléments simples, puis reviens à la somme partielle. Par contre, avec Maple, l'expression de la somme partielle est horrible:S
Posté par gui_tou re: Calcul d'intégrale 24-05-10 à 20:56 Ah ça bosse l'officiel de la taupe ^^ MP? Posté par Leitoo re: Calcul d'intégrale 24-05-10 à 21:02 Oui c'est à tout à fait ca =)
D'accord très bien. pour la décomposition en élément simple je trouve
J'intégre ensuite chaque élément c'est bien celà? Puis je somme le tout? Posté par gui_tou re: Calcul d'intégrale 24-05-10 à 21:07 Oui, enfin tu peux regrouper les deux premiers termes ^^
Tu sommes, et ça fait une zolie somme télescopique.
Intégrale À Paramétrer Les
Posté par Leitoo re: Calcul d'intégrale 24-05-10 à 21:11 D'accord très bien. Je te remercie de ton aide. Je vais faire tout ça. Si j'ai d'autre question pour la suite, je me manifesterai à nouveau. Encore merci =)
Posté par gui_tou re: Calcul d'intégrale 24-05-10 à 21:15 De rien & bonne soirée! Posté par Leitoo re: Calcul d'intégrale 24-05-10 à 21:30 Je trouve la somme de 0 à l'infinie de:
C'est étrange car la somme est nulle
Posté par gui_tou re: Calcul d'intégrale 24-05-10 à 21:36 Maple a plutôt:
Posté par gui_tou re: Calcul d'intégrale 24-05-10 à 21:43 Qu'on peut bidouiller en
En faisant apparaître la série harmonique, on montre que l'intégrale impropre vaut 1
Posté par Leitoo re: Calcul d'intégrale 24-05-10 à 21:50 C'est exact, c'est que je trouvais en faisant directement le calcul avec maple. Cependant je ne vois pas d'où peut provenir mon erreur: j'ai refait le calcul à plusieurs reprise mais je dois commettre sans cesse la même faute. On obtient les deux intégrales suivant non? qui s'intègre en d'ou le terme
Il est en de même pour le second terme.
M5. On applique la généralisation du théorème de convergence dominée. On se place sur un intervalle de borne. On vérifie que:
… pour tout est continue par morceaux sur,
… pour tout admet une limite en notée et que la fonction est continue par morceaux sur. … On cherche une fonction continue par morceaux et intégrable sur telle que. Alors admet une limite en et. Si,. Déterminer les limites aux bornes de la fonction. M6. Dans quelques cas particuliers, on peut ramener l'étude de à l'étude d'une fonction de la forme. Exemple 1 🧡
Si
où est continue sur. Dérivée de. Exemple 2
où est continue sur. Dérivabilité de. 5. Fin de l'étude de la fonction
🧡
On a déjà prouvé que est de classe sur (on pourrait démontrer qu'elle est). Dans le chapitre Intégration sur un intervalle quelconque, on a prouvé que
pour tout. S igne de. Comme tout (car on intègre une fonction continue positive ou nulle est différente de la fonction nulle), est strictement croissante sur. Comme, le théorème de Rolle assure l'existence de tel que.
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