C'est donc le spectre d'un signal périodique de période T. Pour simuler un spectre continu, T devra être choisi très grand par rapport à la période d'échantillonnage. Le spectre obtenu est périodique, de périodicité fe=N/T, la fréquence d'échantillonnage. 2. Signal à support borné
2. a. Exemple: gaussienne
On choisit T tel que u(t)=0 pour |t|>T/2. Considérons par exemple une gaussienne centrée en t=0:
dont la transformée de Fourier est
En choisissant par exemple T=10a, on a pour t>T/2
Chargement des modules et définition du signal:
import math
import numpy as np
from import *
from import fft
a=1. 0
def signal(t):
return (-t**2/a**2)
La fonction suivante trace le spectre (module de la TFD) pour une durée T et une fréquence d'échantillonnage fe:
def tracerSpectre(fonction, T, fe):
t = (start=-0. 5*T, stop=0. 5*T, step=1. 0/fe)
echantillons = ()
for k in range():
echantillons[k] = fonction(t[k])
N =
tfd = fft(echantillons)/N
spectre = T*np. absolute(tfd)
freq = (N)
for k in range(N):
freq[k] = k*1.
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1. Transformée de Fourier
Ce document introduit la transformée de Fourier discrète (TFD) comme moyen d'obtenir une approximation numérique de la transformée de Fourier d'une fonction. Soit un signal u(t) (la variable t est réelle, les valeurs éventuellement complexes). Sa transformée de Fourier(TF) est:
Si u(t) est réel, sa transformée de Fourier possède la parité suivante:
Le signal s'exprime avec sa TF par la transformée de Fourier inverse:
Lors du traitement numérique d'un signal, on dispose de u(t) sur une durée T, par exemple sur l'intervalle [-T/2, T/2]. D'une manière générale, un calcul numérique ne peut se faire que sur une durée T finie. Une approximation de la TF est calculée sous la forme:
Soit un échantillonnage de N points, obtenu pour:
Une approximation est obtenue par la méthode des rectangles:
On recherche la TF pour les fréquences suivantes, avec:
c'est-à-dire:
En notant S n la transformée de Fourier discrète (TFD) de u k, on a donc:
Dans une analyse spectrale, on s'intéresse généralement au module de S(f), ce qui permet d'ignorer le terme exp(jπ n)
Le spectre obtenu est par nature discret, avec des raies espacées de 1/T.
La durée d'analyse T doit être grande par rapport à b pour avoir une bonne résolution:
T=200. 0
fe=8. 0
axis([0, 5, 0, 100])
On obtient une restitution parfaite des coefficients de Fourier (multipliés par T). En effet, lorsque T correspond à une période du signal, la TFD fournit les coefficients de Fourier, comme expliqué dans Transformée de Fourier discrète: série de Fourier. En pratique, cette condition n'est pas réalisée car la durée d'analyse est généralement indépendante de la période du signal. Voyons ce qui arrive pour une période quelconque:
b = 0. 945875 # periode
On constate un élargissement de la base des raies. Le signal échantillonné est en fait le produit du signal périodique défini ci-dessus par
une fenêtre h(t) rectangulaire de largeur T. La TF est donc le produit de convolution de S avec la TF de h:
qui présente des oscillations lentement décroissantes dont la conséquence sur le spectre d'une fonction périodique est l'élargissement de la base des raies. Pour remédier à ce problème, on remplace la fenêtre rectangulaire par une fenêtre dont le spectre présente des lobes secondaires plus faibles,
par exemple la fenêtre de Hamming:
def hamming(t):
return 0.
On note pour la suite X(f) la FFT du signal x_e(t). Il existe plusieurs implantations dans Python de la FFT: pyFFTW Ici nous allons utiliser pour calculer les transformées de Fourier. FFT d'un sinus ¶ Création du signal et échantillonnage ¶ import numpy as np
import as plt
def x ( t):
# Calcul du signal x(t) = sin(2*pi*t)
return np. sin ( 2 * np. pi * t)
# Échantillonnage du signal
Durée = 1 # Durée du signal en secondes
Te = 0. 1 # Période d'échantillonnage en seconde
N = int ( Durée / Te) + 1 # Nombre de points du signal échantillonné
te = np. linspace ( 0, Durée, N) # Temps des échantillons
t = np. linspace ( 0, Durée, 2000) # Temps pour le signal non échantillonné
x_e = x ( te) # Calcul de l'échantillonnage
# Tracé du signal
plt. scatter ( te, x_e, color = 'orange', label = "Signal échantillonné")
plt. plot ( t, x ( t), '--', label = "Signal réel")
plt. grid ()
plt. xlabel ( r "$t$ (s)")
plt. ylabel ( r "$x(t)$")
plt. title ( r "Échantillonnage d'un signal $x(t$)")
plt. legend ()
plt.
54+0. 46*(2**t/T)
def signalHamming(t):
return signal(t)*hamming(t)
tracerSpectre(signalHamming, T, fe)
On obtient ainsi une réduction de la largeur des raies, qui nous rapproche du spectre discret d'un signal périodique.
get_window ( 'hann', 32))
freq_lim = 11
Sxx_red = Sxx [ np. where ( f < freq_lim)]
f_red = f [ np. where ( f < freq_lim)]
# Affichage
# Signal d'origine
plt. plot ( te, x)
plt. ylabel ( 'accélération (m/s²)')
plt. title ( 'Signal')
plt. plot ( te, [ 0] * len ( x))
plt. title ( 'Spectrogramme')
Attention Ici vous remarquerez le paramètre t_window('hann', 32) qui a été rajouté lors du calcul du spectrogramme. Il permet de définir la fenêtre d'observation du signal, le chiffre 32 désigne ici la largeur (en nombre d'échantillons) d'observation pour le calcul de chaque segment du spectrogramme.
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