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C'est l'un des miracle des mathématiques: des problèmes restés sans solution pendant des décennies qui finalement se résolvent d'une manière simple si le mathématicien adopte un point de vue nouveau. Remarquons que le « miracle » peut être également inverse: une proposition très simple qui finalement demande des centaines de pages de démonstration, comme ce fut le cas du dernier théorème de Fermat, résolu par Andrew Wiles. Ici, il s'agit d'une énigme datant du début des années 1970 concernant la théorie mathématique des nœuds, théorie qui a des implications, hors de mathématiques, en physique quantique, en biologie moléculaire, etc. Et elle vient d'être résolue en moins d'une semaine et 6 pages de démonstration par une jeune doctorante à l'université du Texas à Austin: Lisa Piccirillo. En réalité, la résolution date de 2018 mais a été publiée dans le très officiel Annals of Mathematics en février dernier. Bien sûr, quand on dit que la solution est simple, c'est à prendre avec des pincettes: elle requiert une plongée dans des espaces à 4 dimensions et des manipulations impossibles à visualiser intuitivement – sauf entraînement mathématique poussé.
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Source: Annals of Mathematics, février 2020 A lire aussi: • Les nœuds ont enfin leur théorie physique • Maths: le nombre 33 dévoile son mystère
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… à la brioche tressée Mais l'étude mathématique des nœuds ne se contente pas de théoriser les propriétés des nœuds réels, elle interroge aussi leur comportement dans des espaces à plus grande dimension car il renseigne sur la nature de cet espace (dit topologique) – sans compter leur utilité dans des théories physiques à plus de 3 dimensions. Or si un nœud dans l'espace 3D est une boucle filaire à une seule dimension (c'est une droite qu'on a recourbée, enlacée et fusionnée aux bouts), en dimension 4, un nœuds est une structure à deux dimensions: une sphère de corde nouée. Cela pourrait ressembler à une boule de mozzarella tressée ou encore une brioche sphérique tressée de manière irrégulière… Sauf qu'on est en 4 dimensions. Une classification des nœuds Or ce qu'a démontré Piccirillo est que le nœud de Conway, baptisé « 11n34 » (dans la classification de Rolfsen), n'était pas une « tranche » (slice en anglais). Oui, tranche… comme une longe fine de la brioche ou de la mozzarella tressée.
Mais il est peut-être possible d'entrevoir ici un peu du voyage accomplit par Lisa Piccirillo. Coïncidence non mathématique: c'est le célèbre mathématicien touche-à-tout John Conway, mort en avril dernier du Covid19, qui avait posé le problème. Peut-être ce dernier a eu vent de la démonstration car l'article est présent dans le site en libre accès arXiv depuis 2018… Du nœud de John Conway… Rappelons qu'un nœud en mathématiques ressemble aux nœuds réels au détail près que les deux bouts de la ficelle sont fusionnés, il s'agit donc de boucles nouées. L'un des principaux questionnements de la théorie des nœuds est: étant donné deux nœuds, peut-on savoir s'ils sont équivalents? Autrement dit: peut-on déformer l'un pour le rendre équivalent à l'autre sans avoir à couper la boucle puis la refusionner, c'est-à-dire en ne modifiant pas le nombre ni la disposition des croisements? Cette question a conduit au classement des nœuds selon des paramètres particuliers comme le nombre de croisements, leur direction, etc., faciles à compter et qui permettent aux mathématiciens de définir des invariants qui associent une valeur à chaque nœud: deux nœuds de même valeur seront équivalents, et inversement.
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