Ainsi $AB=\dfrac{p}{4}$ et $BC=\dfrac{p}{2}$. Exercice 5
Résoudre, dans $\R$, l'équation $x^2+x-6=0$. En déduire la résolution de:
a. $X^4+X^2-6=0$
b. $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}-6=0$
Correction Exercice 5
$x^2+x-6=0$
On calcule le discriminant avec $a=1$, $b=1$ et $c=-6$. $\Delta = b^2-4ac=1+24=25>0$. Il y a donc deux solutions réelles:
$x_1=\dfrac{-1-\sqrt{25}}{2}=-3$ et $x_2=\dfrac{-1+\sqrt{25}}{2}=2$. a. $X^4+X^2-6=0\quad (1)$
On pose $x=X^2$. On obtient ainsi l'équation $x^2+x-6=0$. D'après la question 1. on a $x=-3$ ou $x=2$. Par conséquent $X^2=-3$ ou $X^2=2$. L'équation $X^2=-3$ ne possède pas de solution. L'équation $X^2=2$ possède deux solutions: $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$. Les solutions de l'équation $(1)$ sont donc $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$. Remarque: On dit que l'équation $(1)$ est une équation bicarré. b. $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}-6=0 \quad (2)$
On pose $X=\dfrac{1}{x}$. On obtient ainsi l'équation $X^2+X-6=0$. Problèmes du second degré exercices pdf 2017. D'après la question 1. on a donc $X=-3$ ou $X=2$. Par conséquent $\dfrac{1}{x}=-3$ ou $\dfrac{1}{x}=2$.
Problèmes Du Second Degré Exercices Pdf
Exercice 4
Sur un terrain limité par une rivière, on construit une clôture rectangulaire $ABCD$ (mais on ne fait pas de clôture sur le côté $[AD]$, le long de la rivière). On appelle $p$ la longueur totale de la clôture. On veut déterminer les dimensions du rectangle $ABCD$ pour que son aire soit maximale. Dans cet exercice, l'unité est le mètre. On pose $x=AB$. Montrer que l'aire du rectangle $ABCD$ vaut $f(x)=-2x^2+px$. Fichier pdf à télécharger: Cours-Exercices-Problemes-2nd-degre. Déterminer la forme canonique de $f$. Répondre à l'objectif du problème. Correction Exercice 4
Faisons un schéma:
$[AB]$ et $[CD]$ mesurent $x$ mètres. La longueur totale de la clôture est de $p$ mètres. Par conséquent $BC=p-2x$. Ainsi l'aire du rectangle $ABCD$ est:
$f(x)=AB \times BC = px-2x^2=-2x^2+px$
La forme canonique de $f(x)$ est:
$\begin{align*} f(x)&=-2x^2+px \\
&=-2\left(x^2-\dfrac{px}{2}\right) \\
&=-2\left(x^2-2\times \dfrac{p}{4}\times x\right) \\
&=-2\left(\left(x-\dfrac{p}{4}\right)^2-\dfrac{p^2}{16} \right) \\
&=-2\left(x-\dfrac{p}{4}\right)^2+\dfrac{p^2}{8}
Le maximum est donc atteint quand $x=\dfrac{p}{4}$.
Exercice 1
Une entreprise fabrique chaque jour $x$ objets avec $x\in[0;60]$. Le coût total de production de ces objets, exprimés en euros, est donné par: $C(x)=x^2-20x+200$. Calculer le nombre d'objets fabriqués correspondant à un coût de $500$ euros. $\quad$
Chaque objet fabriqué est vendu au prix unitaire de $34$ euros. Calculer, en fonction de $x$, la recette $R(x)$. Justifier que le bénéfice réalisé pour la production et la vente de $x$ objets est donné, pour $x \in [0;60]$, par: $B(x)=-x^2+54x-200$. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle $[0;60]$. En déduire la quantité à produire et vendre permettant à l'entreprise de réaliser un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice maximal? Correction Exercice 1
On veut résoudre l'équation:
$\begin{align*} C(x)=500&\ssi x^2-20x+200=500\\
&\ssi x^2-20x-300=0
\end{align*}$
On calcule le discriminant avec $a=1$, $b=-20$ et $c=-300$. Problèmes du second degré exercices pdf. $\Delta = b^2-4ac=400+1~200=1~600>0$. L'équation possède donc $2$ solutions réelles:
$x_1=\dfrac{20-\sqrt{1~600}}{2}=-10$ et $x_2=\dfrac{20+\sqrt{1~600}}{2}=30$.
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