Voici encore quelques propriétés
très importantes d'utilité pratique du produit vectoriel (en
physique particulièrement) qui sont triviales à vérifier si
les développements sont effectués (nous pouvons les faire sur
demande si jamais! ):
P1. Remarque: Cette relation est appelée la " règle
de Grassmann " et il est important de noter que sans
les parenthèses le résultat n'est pas unique. P2. P3. P4. P5. MIXTE
Nous pouvons étendre la définition
du produit vectoriel un autre type d'outil mathématique que nous
appelons le " produit mixte ":
Définition: Nous appelons " produit
mixte " des
vecteurs x,
y, z le
double produit:
(12. 116)
souvent condensé sous la notation suivante:
(12. 117)
D'après ce que nous avons
vu lors de la définition du produit scalaire et vectoriel, le produit
mixte peut également s'écrire:
(12. 118)
le cas o E est
l'espace vectoriel eucliden,
la valeur absolue du produit mixte symbole le volume (orienté)
du parallélépipède,
construit sur des représentants x,
y, z d'origine
Remarque: Il
est assez trivial que le produit mixte est une extension
3 dimension du produit vectoriel.
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100)
Remarques: R1. La première notation est la notation internationale due Gibbs
(que nous utiliserons tout au long de ce site), la deuxième est
la notation franais due Burali-Forti (assez embtant car se
confond avec l'opérateur ET en logique). R2. Il est assez embtant de retenir par coeur les relations qui
forment le produit vectoriel habituellement. Mais heureusement il
existe au moins trois bons moyens mnémotechniques:
1. Le plus rapide consiste retrouver l'une des expressions des
composantes du produit vectoriel et ensuite par décrémentation
des indices (en recommencent 3 lorsque qu'on arrive 0)
de connatre toutes les
autres composantes. Encore faut-il trouver un moyen simple de se
souvenir d'une des composantes. Un bon moyen est la propriété mathématique
suivante de deux vecteur colinéaires permettant facilement
de retrouver la troisième composante (celle selon l'axe
Z):
Soit deux vecteurs
colinéaires dans un même plan, alors:
(12. 101)
Nous retrouvons donc bien
l'expression de la troisième composante du produit vectoriel
de deux vecteurs (non nécessairement colinéaires...
eux!
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Le produit vectoriel, propriétés - YouTube
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Propriétés importantes du PRODUIT VECTORIEL - Explication & exemples - Physique Prépa Licence - YouTube
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On considère la hauteur issue de C. On note h sa longueur. S=\frac { AB\times h}{ 2} =\frac { AB\times AC\sin { \alpha}}{ 2} =\frac { 1}{ 2} \left| \vec { AB} \wedge \vec { AC} \right|
clubsuit L'aire d'un parallélogramme étant le double de l'aire du triangle formé par trois sommets de ce parallélogramme, on a:
S=\left| \vec { AB} \wedge \vec { AC} \right|
b- Moment d'une force
Soit une planche en équilibre au bord d'un muret. Pour la déséquilibrer, on peut poser une charge sur la partie en porte-à-faux, au-dessus du vide. La capacité de cette charge à faire basculer la planche n'est pas la même suivant qu'elle est posée près du muret ou au bout de la planche. De même on peut, au même endroit, placer une charge plus lourde et constater une différence de basculement. Le « pouvoir de basculement »dépend donc de l'intensité de la force, mais également de la position relative du point d'application de la force, et du point de rotation réel ou virtuel considéré. On intègre ces trois composantes du problème par le modèle de moment d'une force, qui représente l'aptitude d'une force à faire tourner un système mécanique autour d'un point donné, qu'on nommera pivot.
Propriétés Produit Vectoriels
Dans tous les cas u reste un vecteur unitaire fixe de direction Ox. Le produit vectoriel u∧v est le vecteur rose w.
L'animation peut être arrêtée et redémarrée par un clic de souris dans la zone graphique. Coefficient λ de v:
Angle de v autour de Oz en degrés:
Cette appliquette montre le produit vectoriel de deux vecteurs aléatoires. Propriétés
Le module de w est donc |sin(α)|×||u||||v|| où α est l'angle (non orienté) des deux vecteurs u et v.
On voit que:
le produit vectoriel est une application bilinéaire alternée de ℝ 3 ×ℝ 3
dans ℝ 3. On a de plus si (i, j, k) est une base orthonormale quelconque:
Donc, il résulte des égalités ci-dessus et du fait que le produit vectoriel est bilinéaire alterné que:
Si u=u 1 i+u 2 j+u 3 k
et
v = v 1 i+v 2 j+v 3 k
alors
u∧v=(u 2 v 3 -u 3 v 2)i+(v 1 u 3 -u 3 v 1)j+(u 1 v 2 -u 2 v 1)k
Produit mixte
Formellement le
'produit mixte'
des 3 vecteurs u, v, w est défini par:
(u|v|w)=u. (v ∧ w)
On voit tout de suite que cette opération est trilinéaire alternée, et que si (i, j, k) est une base orthonormale:
(i|j|k)=1.
On la note d'ailleurs avec le même symbole, le « wedge » $\wedge$, et on l'appelle aussi produit vectoriel [ 1]. Tous ces produits vérifient l'identité du double produit vectoriel, à condition de remplacer dans la formulation originale de celle-ci le produit scalaire de $\mathbb R^3$ par $g$. Cette formule, qui a des conséquences importantes, m'a toujours intrigué et je me suis demandé jusqu'à quel point elle est caractéristique autrement dit, si les produits construits ci-dessus sont les seuls à la vérifier. Formellement, on aimerait savoir quels produits antisymétriques $\tau$ définis sur un espace vectoriel $V$, réel et de dimension finie $n>1$, et quelles formes bilinéaires $\beta$ sur $V$ peuvent tenir les rôles du produit vectoriel $\wedge$ et du produit scalaire $g$ et, en particulier, vérifier l'identité:
\[\tau(u, \tau(v, w))=\beta(u, w)v-\beta(u, v)w\]
Il s'avère qu'on peut classifier tous ces triples $(V, \tau, \beta)$. Je n'ai guère la place ici pour expliquer le résultat complet - ce n'est d'ailleurs peut-être pas l'endroit pour le faire - et je me bornerai donc à décrire les solutions pour lesquelles $\beta$ est non dégénéré.
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