En conclusion nous avons bien prouvé que pour pour tout entier n strictement positif:
1 + 2 +... +n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}.
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Exercice Récurrence Suite De L'article
donc est vraie. Conclusion: par récurrence, la propriété est vraie pour tout entier. Correction de l'exercice 2 sur le terme d'une suite:
Si, on note:. Initialisation: Pour,
Donc est vraie. Hérédité: Soit donné tel que soit vraie. On calcule d'autre part:
et on a donc prouvé que
On a démontré que est vraie. Pour démontrer une égalité de la forme, il est plus élégant de partir de pour arriver à. Lorsque cela vous paraît trop compliqué, vous pouvez comme ici, démontrer que et sont égales à la même quantité. Ce sera peut être ce que vous ferez pour démontrer passer de à, en écrivant l'égalité que vous devez prouver au rang en la simplifiant. 2. Somme de termes d'une suite et récurrence
Exercice 1 sur la somme de termes et récurrence:
Pour tout entier, on note
Pour tout, montrer que
Exercice 2 sur la somme de termes en terminale:
On note
et. Exercices corrigés sur raisonnement et récurrence Maths Sup. Montrer que pour tout,. Correction de l'exercice 1 sur la somme de termes et récurrence:
On note pour
Initialisation: Si
Hérédité: Soit fixé tel que soit vraie.
Exercice Récurrence Suite 2016
Par continuité de, c'est-à-dire (cf. calcul de la question A3).
Exercice Récurrence Suite Du
$v_n={n}/{n(1+{1}/{n})}={1}/{1+{1}/{n}}$. Et par là: $\lim↙{n→+∞}v_n={1}/{1+0}=1$.
Exercice Récurrence Suite
Corrigés des exercices
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Enoncé
Corrigé
Exercice 1
Déterminer dans chacun des cas la limite de la suite:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Exercice 2
Soit
la suite définie par
et, pour tout entier,. Montrer que, pour tout entier,. Exercice 3
Exercice 5
Montrer que, pour tout entier
1,. Exercice 6
la suite définie par,
et,
pour tout,. Calculer,
et
Démontrer que, pour tout entier,. Exercice 7
Tracer dans un repère la courbe représentative de la fonction, puis placer les points,,
d'ordonnée nulle et d'abscisse respective,,
et. Montrer par récurrence que la suite
est croissante. En déduire que la suite
est convergente. Exercice 8
Calculer les quatre premiers termes de la suite,
et conjecturer le sens de variation de la suite. Démontrer cette conjecture. Exercice récurrence suite c. est convergente vers une limite. Déterminer. Exercice 9
la suite définie par. Montrer que, pour tout,. En déduire que, pour tout,. En déduire la limite de la suite. Exercice 10
Soit, pour tout entier,. Montrer que pour tout entier,,
puis en déduire la limite de la suite.
Exercice Récurrence Suite C
Soit la suite définie pour n > 0 n > 0 par u n = sin ( n) n u_{n}=\frac{\sin\left(n\right)}{n}. On sait que pour tout n n, − 1 ⩽ sin ( n) ⩽ 1 - 1\leqslant \sin\left(n\right)\leqslant 1 donc − 1 n ⩽ sin ( n) n ⩽ 1 n - \frac{1}{n}\leqslant \frac{\sin\left(n\right)}{n}\leqslant \frac{1}{n}. Or les suites ( v n) \left(v_{n}\right) et ( w n) \left(w_{n}\right) définie sur N ∗ \mathbb{N}^* par v n = − 1 n v_{n}= - \frac{1}{n} et w n = 1 n w_{n}=\frac{1}{n} convergent vers zéro donc, d'après le théorème des gendarmes ( u n) \left(u_{n}\right) converge vers zéro. Exercice récurrence suite. Soient deux suites ( u n) \left(u_{n}\right) et ( v n) \left(v_{n}\right) telles que pour tout n ∈ N n \in \mathbb{N}, u n ⩾ v n u_{n}\geqslant v_{n}. Si lim n → + ∞ v n = + ∞ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}v_{n}=+\infty, alors lim n → + ∞ u n = + ∞ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=+\infty
Une suite croissante et majorée est convergente. Une suite décroissante et minorée est convergente. Ce théorème est fréquemment utilisé dans les exercices
Ce théorème permet de montrer qu'une suite est convergente mais, à lui seul, il ne permet pas de trouver la valeur de la limite l l
Un cas particulier assez fréquent est celui d'une suite décroissante et positive.
On met la dernière valeur entière en haut du symbole sugma, ici c'est 10. Suites et récurrence : cours et exercices. La lettre est muette, elle ne sert qu'à compter et n'intervient pas dans le résultat final, on peut la remplacer par n'importe quelle autre variable (on évite l'utilisation des lettres déjà utilisées dans l'exercice):
Prenons la somme du premier exemple du paragraphe précédent, on pouvait écrire:
Autres exemples:
1-
2-
3- Remarque: Dans l'exemple 1-, on ne pouvait pas débuter par car le dénominateur ne peut pas être nul. 2- Symbole
Comme son homologue pour les sommes, le symbole mathématique permet d'exprimer plus simplement des produits, par exemple, le produit peut s'écrire:
Exemples:
Remarquer que le produit présenté précédemment: 3- Exercice d'application:
Énoncé: Montrer que:
Solution:
1- Montrons par récurrence que. Notons
Il est conseillé d'écrire les termes avec sigma sous forme d'addition: Initialisation: Pour, on a:
Donc: et est vraie. Hérédité: Soit un entier de, supposons que est vraie et montrons que est vraie (On évite l'utilisation de la lettre pour l'hérédité car déjà utilisée comme variable muette de la somme).
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