Vidange de rservoirs
Théorème de Torricelli
On considère un récipient de rayon R(z) et de section S 1 (z) percé par un petit trou de rayon r et de section S 2 contenant un liquide non visqueux. Soit z la hauteur verticale entre le trou B et la surface du liquide A. Si r est beaucoup plus petit que R(z) la vitesse du fluide en A est négligeable devant V, vitesse du fluide en B.
Le théorème de Bernouilli permet d'écrire que:
PA − PB + μ. g. z = ½. μ. V 2. Comme PA = PB (pression atmosphérique), il vient: V = (2. Vidange d un réservoir exercice corrigé d. z) ½. La vitesse d'écoulement est indépendante de la nature du liquide. Écoulement d'un liquide par un trou
Si r n'est pas beaucoup plus petit que R(z), la vitesse du fluide en A n'est plus négligeable. On peut alors écrire que S1. V1 = S2. V2 (conservation du volume). Du théorème de Bernouilli, on tire que:
La vitesse d'écoulement varie avec z.
En écrivant la conservation du volume du fluide, on a: − S 1 = S 2. V 2
Le récipient est un volume de révolution autour d'un axe vertical dont le rayon à l'altitude z est r(z) = a. z α
S 1 = π. r² et S 2 = πa².
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vidange d'un réservoir - mécanique des fluides - YouTube
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Lécoulement est à deux dimensions (vitesses
parallèles au plan xOy et indépendantes de z)
et stationnaire. Un point M du plan xOy est repéré
par ses coordonnées polaires. Lobstacle, dans son voisinage, déforme les lignes de courant;
loin de lobstacle, le fluide est animé dune vitesse uniforme. Lécoulement est supposé irrotationnel. 3)1) Déduire que
et que. 3)2) Ecrire les conditions aux limites satisfait par
le champ de vitesses
au voisinage de lobstacle (),
à linfini (). 3)3) Montrer quune solution type
est solution de. En déduire léquation différentielle vérifiée
par. Intégrer
cette équation différentielle en cherchant des solutions sous
la forme. Vidange d un réservoir exercice corrigé film. Calculer les deux constantes dintégration et exprimer les composantes
du champ de vitesses. 3)4) Reprendre cet exercice en remplaçant le
cylindre par une sphère de rayon R.
On remarquera que le problème a une symétrie autour de laxe des
x. On rappelle quen coordonnées sphériques, compte tenu
de la symétrie de révolution autour de l'axe des x,
31 | Rponse
32 | Rponse
33 | Rponse
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Le débit volumique s'écoulant à travers l'orifice est: \({{Q}_{v}}(t)=\kappa \cdot s\cdot \sqrt{2\cdot g\cdot h(t)}\) (où \(s\) est la section de l'orifice). Le volume vidangé pendant un temps \(dt\) est \({{Q}_{v}}\cdot dt=-S\cdot dh\) (où \(S\) est la section du réservoir): on égale le volume d'eau \({{Q}_{v}}\cdot dt\) qui s'écoule par l'orifice pendant le temps \(dt\) et le volume d'eau \(-S\cdot dh\) correspondant à la baisse de niveau \(dh\) dans le réservoir. Le signe moins est nécessaire car \(dh\) est négatif (puisque le niveau dans le réservoir baisse) alors que l'autre terme ( \({{Q}_{v}}\cdot dt\)) est positif. Vidange d un réservoir exercice corrigé et. Ainsi \(\kappa \cdot s\cdot \sqrt{2\cdot g\cdot h(t)}\cdot dt=-S\cdot dh\), dont on peut séparer les variables: \(\frac{\kappa \cdot s\cdot \sqrt{2\cdot g}}{-S}\cdot dt=\frac{dh}{\sqrt{h}}={{h}^{-{}^{1}/{}_{2}}}\cdot dh\). On peut alors intégrer \(\frac{\kappa \cdot s\cdot \sqrt{2\cdot g}}{-S}\cdot \int\limits_{0}^{t}{dt}=\int\limits_{h}^{0}{{{h}^{-{}^{1}/{}_{2}}}\cdot dh}\), soit \(\frac{\kappa \cdot s\cdot \sqrt{2\cdot g}}{-S}\cdot t=-2\cdot {{h}^{{}^{1}/{}_{2}}}\).
Bonjour,
Je rencontre un problème au niveau de cet exercice:
Exercice:
On considère un réservoir cylindrique de diamètre intérieur D=2 m rempli d'eau jusqu'à une hauteur H = 3 m. Le fond du réservoir est muni au centre d'un orifice cylindrique de diamètre d = 10 mm fermé par une vanne, permettant de faire évacuer l'eau. Vidange d'un réservoir, formule de bernoulli. On suppose que l'écoulement du fluide est laminaire et le fluide parfait et incompressible. Un piston de masse m = 10 kg est placé sur la face supérieure du réservoir, une personne de M = 100 kg s'assied sur le piston de manière à vider plus vite le réservoir. a) Faire un schéma du problème
b) Quelles sont les quantités conservées utiles à la résolution du problème et donner les équations corresponantes
c) Une fois la vanne ouverte, exprimer la vitesse du fluide à la sortie en fonction de l'accélération gravitationnelle g, M, m, H, d et D.
d) Quel est le débit d'eau à la sortie si d << D
e) Combien de temps est-il nécessaire pour vider le réservoir? Quel es le gain de
temps obtenu par rapport à la même situation sans personne assise sur le piston?
Il manque plusieurs suppléants. C. A.
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