Méthode 1 En élevant les deux expressions au carré Comme \left| x \right| = \sqrt {x^2}, pour résoudre une équation comportant des valeurs absolues, il est possible d'élever tous les termes au carré. L'équation \left| u\left(x\right) \right|= a n'a pas de solution si a\lt 0. Résoudre sur \mathbb{R} l'équation suivante:
\left| x+3 \right|= \left| 2x \right| Etape 1 Élever au carré côté de l'égalité On élève au carré les deux côtés de l'équation afin de supprimer les valeurs absolues. On élève au carré les différents termes de l'équation. Leçon : Inéquations à une inconnue avec valeurs absolues | Nagwa. Pour tout réel x:
\left| x+3 \right|= \left| 2x \right|
\Leftrightarrow\left(x+3\right)^2 = \left(2x\right)^2 Etape 2 Passer tous les termes du même côté de l'équation On développe, puis on passe tous les termes du même côté de l'équation afin d'obtenir une équation du second degré. Pour tout réel x:
\left(x+3\right)^2 = \left(2x\right)^2
\Leftrightarrow x^2+6x+9 = 4x^2
\Leftrightarrow-3x^2+6x+9 = 0 Etape 3 Résoudre l'équation On résout l'équation du second degré obtenue en calculant le discriminant:
si \Delta \gt 0 alors l'équation admet deux solutions x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
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Inégalité avec valeur absolue││< 3 peut également être transformé en deux inéquations: -x < 3 ou x < 3 Par exemple, │x-3│> 5 peut être transformé en - (-3)> 5 ou -3> 5. │3 + 2│ <5 peut être transformé en - (3 + 2)<5 ou 3 + 2<5 Le terme "ou" signifie que l`une ou l`autre des deux inéquations satisfera le problème avec une valeur absolue donnée. 3 Ignorez le signe d`inégalité en recherchant la valeur de x dans la première équation. Si cela vous aide, remplacez temporairement le signe d`inégalité par un signe d`égalité jusqu`à ce que vous ayez terminé. 4 Résolvez comme d`habitude pour trouver x. Rappelez-vous que si vous divisez par un nombre négatif pour effacer x d`un côté du signe d`inégalité, vous devez également inverser le signe d`inégalité. Résoudre une inéquation avec des valeurs absolutes de. Par exemple, si vous divisez les deux côtés entre -1, -x> 5 sera transformé en x<-5 5 Ecrivez l`ensemble de solutions. Pour les valeurs calculées ci-dessus, vous devez écrire la plage de valeurs pouvant remplacer x. Cette gamme de valeurs, en général, est appelée l`ensemble de solutions.
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La valeur absolue d'une valeur s'écrit avec deux traits verticaux, un de chaque côté de la valeur:. Une valeur absolue est toujours positive [3]. C'est ainsi que et. Vous le savez - 3 et 3 sont à égale distance du 0, l'un à gauche, l'autre à droite. 3
Isolez la valeur absolue à gauche de l'équation. C'est une équation normale et donc il vous faut isoler la valeur absolue contenant l'inconnue à gauche. Les constantes (valeurs numériques) iront à droite [4]. Comme une valeur absolue est forcément positive, si, une fois l'équation arrangée, vous avez à droite une valeur négative, vous pouvez tout de suite conclure que votre équation n'a pas de solution [5]. Équations avec Valeurs Absolues | Superprof. Vous devez résoudre l'équation suivante:. Soustrayez 3 de chaque côté afin d'isoler la valeur absolue:
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Présentez l'équation avec la constante positive. Une équation impliquant une valeur absolue de l'inconnue a deux racines. Dans un premier temps, il faut enlever la valeur absolue, la mettre à égalité avec la constante, puis faire les calculs [6].
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Ici, on a:
Lorsque x \in \left]-\infty; 2 \right], \left| -x+2 \right| = 2x-8 \Leftrightarrow -x+2 = 2x-8 Lorsque x \in \left]2;+\infty \right[, \left| -x+2 \right| = 2x-8 \Leftrightarrow x-2 = 2x-8 Etape 3 Résoudre l'équation On résout la ou les équation(s) obtenue(s). Résoudre une inéquation avec des valeurs absolues exercices. On résout les deux équations obtenues:
Lorsque x \in \left]-\infty; 2 \right]: -x+2 =2x-8 \Leftrightarrow -3x = -10 \Leftrightarrow x = \dfrac{10}{3}, or \dfrac{10}{3} \notin \left]-\infty; 2 \right], ce n'est donc pas une solution de l'équation. Lorsque x \in \left]2; +\infty \right[: x-2 =2x-8 \Leftrightarrow -x = -6 \Leftrightarrow x =6, or 6 \in \left] 2; +\infty \right[, c'est donc une solution de l'équation. S = \left\{ 6\right\} Penser bien à vérifier que chaque solution obtenue appartient bien à l'intervalle sur lequel on l'a déterminé. Si ce n'est pas le cas, ce n'est pas une solution de l'équation.
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Par exemple pour l'inéquation ∣ x − 2 ∣ > 3 \left|x - 2\right| > 3, les solutions sont les nombres situés à plus de 3 unités du nombre 2. On trouve donc:
S =] − ∞; − 1 [ ∪] 5; ∞ [ S=\left] - \infty; - 1\right[ \cup \left]5; \infty \right[
Variante 2
Pour une inéquation du type ∣ x + a ∣ < b \left|x+a\right| < b on utilise le fait que x + a = x − ( − a) x+a=x - \left( - a\right). Résoudre une inéquation avec des valeurs absolutes des. Par exemple l'inéquation ∣ x + 2 ∣ < 3 \left|x+2\right| < 3 est identique à ∣ x − ( − 2) ∣ < 3 \left|x - \left( - 2\right)\right| < 3. On applique alors la même méthode: la distance entre x et -2 est strictement inférieure à 3 etc. (faites le graphique! ) et on trouve:
S =] − 5; 1 [ S=\left] - 5; 1\right[
Variante 3
Pour une inéquation du type ∣ m x + a ∣ < b \left|mx+a\right| < b on met m m en facteur puis on se ramène au cas précédent en divisant chaque membre par ∣ m ∣ \left|m\right|. Par exemple l'inéquation ∣ 2 x − 1 ∣ < 3 \left|2x - 1\right| < 3 donne:
∣ 2 ( x − 1 2) ∣ < 3 \left|2\left(x - \frac{1}{2}\right)\right| < 3
∣ 2 ∣ × ∣ x − 1 2 ∣ < 3 \left|2\right|\times \left|x - \frac{1}{2}\right| < 3 car ∣ a b ∣ = ∣ a ∣ × ∣ b ∣ \left|ab\right|=\left|a\right|\times \left|b\right|
2 × ∣ x − 1 2 ∣ < 3 2\times \left|x - \frac{1}{2}\right| < 3
∣ x − 1 2 ∣ < 3 2 \left|x - \frac{1}{2}\right| < \frac{3}{2} en divisant chaque membre par 2.
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