Outil en ligne pour dessiner un arbre de probabilités conditionnelles
A̅
A
P(A̅C̅) = 2/3*2/5
P(A̅C) = 2/3*3/5
P(AB̅) = 1/3*1/4
P(AB) = 1/3*3/4
2/3
1/3
2/5
3/5
1/4
3/4
Exemple d'arbre développé de gauche à droite
En six étapes, on peut construire en ligne l'image d'un arbre au format SVG. Utilisation du graphique SVG
Étape 1: nombre de niveaux de l'arbre
racine
niveau 1
niveau 2
niveau 3
Exemple d'un arbre à 3 niveaux développé de haut en bas
Nombre de niveaux de l'arbre:
Orientation:
Arbre développé de haut en bas
Arbre développé de gauche à droite
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"S'il emprunte le chemin B, la probabilité qu'il soit en retard est de 0, 6. ": P B ( R) = 0, 6 De la même manière, P B ( R c) = 1 – P B ( R) = 0, 4. Définitions et propriétés
On nomme arbre de probabilité un graphe orienté et pondéré obéissant aux règles suivantes
La somme des pondérations (ou probabilités) des branches issues d'un même sommet donne 1. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent. La pondération de la branche allant du sommet A vers le sommet B est la probabilité conditionnelle de B sachant que A est déjà réalisé p A ( B). On retrouve alors la propriété de la probabilité conditionnelle:
(produit des chemins). Ainsi que la formule des probabilités totales:
si Ω 1, Ω 2,..., Ω n définit une partition de Ω (ensembles deux à deux disjoints dont l'union donne Ω), si les Ω i sont de probabilité non nulle, et si A est un événement de Ω,
Que l'on a exploitée dans l'exemple pour calculer p ( N)
L'arbre de probabilité facilite aussi l'inversion des probabilités conditionnelles ou théorème de Bayes:
Dans l'illustration précédente, cela revient à poser la question: « Sachant que l'on a tiré une noire, quelle est la probabilité que l'on ait tiré dans l'urne 1?
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La première étape permet de définir un univers Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} sur lequel on applique une équiprobabilité (on estime le dé parfaitement équilibré). On considère alors les deux événements complémentaires
U 1 = « le lancer conduit à tirer dans l'urne 1 »
U 2 = « le lancer conduit à tirer dans l'urne 2 »
On a donc U 1 = { 3; 6} et p ( U 1) = 1/3 puis p ( U 2) = 2/3. Pour étudier la seconde étape, il faut étudier ce qui se passe quand on tire dans l'urne 1 ou l'urne 2. Le tirage dans l'urne 1 permet de définir un univers Ω 1 = { N; B; R} sur lequel on applique la probabilité suivante
p ( N) = 3/10
p ( B) = 4/10
p ( R) = 3/10. Il s'agit en réalité du transfert à Ω 1 (univers des couleurs possibles d'une boule tirée au hasard dans l'urne 1) d'une équiprobabilité définie sur Ω 1 ' = {N 1, N 2, N 3, B 1, B 2, B 3, B 4, R 1, R 2, R 3} (univers des boules contenues dans l'urne 1 elles-mêmes, considérées ici comme les résultats possibles et équiprobables du tirage dans l'urne 1). De même, le tirage dans l'urne 2 permet de définir un univers Ω 2 = { N, B} de probabilités 3/5 et 2/5.
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