Relation entre la transformation bilatérale et la transformation monolatérale [ modifier | modifier le code]
Théorie élémentaire [ modifier | modifier le code]
Soit une fonction définie dans un voisinage ouvert de, continue en 0, et admettant une transformée de Laplace bilatérale. Sa transformée monolatérale de Laplace, que nous noterons ici, est donnée par
où est la fonction de Heaviside. On a
par conséquent
d'où la formule classique
Généralisation [ modifier | modifier le code]
Soit une distribution à support positif, une fonction indéfiniment dérivable dans un intervalle ouvert contenant, et. En posant, est une distribution à support positif, dont la transformée de Laplace est (en notation abusive)
où est l'abscisse de convergence. Les distributions et ont même restriction à tout intervalle ouvert de la forme dès que est suffisamment petit. Formulaire - Transformations de Laplace et de Fourier - Claude Giménès. On peut donc écrire pour tout entier. D'autre part,
avec et, d'après la « théorie élémentaire » ci-dessus,. Finalement,
En procédant par récurrence, on obtient les formules générales de l'article Transformation de Laplace.
Il peut tout aussi bien s'exprimer à partir de la transformation de Laplace, et on obtient alors l'énoncé suivant:
(1) Théorème de Paley-Wiener:
Pour qu'une fonction entière soit la transformée de Laplace d'une fonction indéfiniment dérivable sur de support inclus dans la "boule" fermée de centre et de rayon, notée, il faut et il suffit que pour tout entier, il existe une constante tels que pour tout appartenant à,
où désigne le produit scalaire usuel dans de et de. (2) Théorème de Paley-Wiener-Schwartz:
Pour qu'une fonction entière soit la transformée de Laplace d'une distribution sur de support inclus dans, il faut et il suffit qu'il existe un entier et une constante tels que pour tout appartenant à,. Transformée de Laplace. Un théorème dû à Jacques-Louis Lions donne d'autres informations sur le support d'une distribution à partir de sa transformée de Laplace. Dans le cas d'une seule variable, il prend la forme suivante (voir Inversion):
Pour qu'une fonction holomorphe sur soit la transformée de Laplace d'une distribution sur à support dans la demi-droite, il faut et il suffit que soit majorée, lorsque le réel est assez grand, par un polynôme en.
Source de l'article: Mathématiques pour la Physique, tome 2, Benoist-Gueutal et Courbage, Eyrolles. Consulter aussi...
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