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c. $~$
$$ \begin{align} v_n = \dfrac{u_n}{1-u_n}& \Leftrightarrow 3^n = \dfrac{u_n}{1-u_n} \\\\
&\Leftrightarrow (1-u_n) \times 3^n = u_n \\\\
& \Leftrightarrow 3^n = u_n + 3^n u_n \\\\
& \Leftrightarrow u_n = \dfrac{3^n}{1+3^n}
d. $\dfrac{1+3^n}{3^n} = \dfrac{1}{3^n} + 1$ or $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{3^n} = 0$ (car $3 > 1$). Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{u_n} = \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1 + 3^n}{3^n} = 1$ et $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} u_n = 1$
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Exercice 2 (D'après Asie juin 2013)
Partie A
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$:
$$u_{n+1} = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n}$$
On admet que tout les termes de cette suite sont définis et strictement positifs. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_n > 1$. Les suites - Corrigés. a. Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a:$u_{n+1}-u_n = \dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n}$. b. Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.
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b) En déduire les expressions de t n puis de V n en fonction de n.
c) Déterminer la limite de (t n) puis celle de (V n). exercice 3
Au premier janvier 1995, une ville A compte 200 000 habitants. A la même date une ville B a 150 000 habitants. On a constaté que la population de la ville A diminue de 3% par an et que celle de la ville B augmente de 5% par an. Dans cet exercice, on suppose que les croissances et les diminutions se poursuivent à ce rythme. 1. Quelles seront les populations des villes A et B au premier janvier 1996? au premier janvier 1997? 2. Pour tout entier n, on désigne par: a n la population de la ville A au premier janvier de l'année (1995 + n) et par b n la population de la ville B à la même date. a) Vérifier que les suites (a n) et (b n) sont géométriques. Préciser leurs raisons respectives. b) Exprimer a n et b n en fonction de n.
c) Au premier janvier de quelle année la population de la ville B sera-t-elle, pour la première fois, supérieure à celle de la ville A? Pour tout entier naturel n, on pose:
R n le montant, en francs, du revenu annuel de M. Les suites : Terminale - Exercices cours évaluation révision. Dufisc en l'an 1990 + n
I n le montant de l'impôt correspondant
U n = R n - I n le revenu de M. Dufisc après impôt.
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