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Donc $f'(x) \le 0$ sur $]-\infty;0]$ et $f'(x) \ge 0$ sur $[0;+\infty[$. Par conséquent $f$ est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$. La courbe représentant la fonction $f$ admet donc un minimum en $0$ et $f(0) = 1 – (1 + 0) = 0$. Par conséquent, pour tout $x \in \R$, $f(x) \ge 0$ et $1 + x \le \text{e}^x$. a. On pose $x = \dfrac{1}{n}$. On a alors $ 1 +\dfrac{1}{n} \le \text{e}^{\frac{1}{n}}$. Et en élevant les deux membres à la puissance $n$ on obtient:
$$\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n \le \text{e}$$
b. Exercice terminale s fonction exponentielle a un. On pose cette fois-ci $x = -\dfrac{1}{n}$. On obtient ainsi $ 1 -\dfrac{1}{n} \le \text{e}^{-\frac{1}{n}}$. En élevant les deux membres à la puissance $n$ on obtient:
$$\left(1 – \dfrac{1}{n}\right)^n \le \text{e}^{-1}$$
soit
$$\left(1 – \dfrac{1}{n}\right)^n \le \dfrac{1}{\text{e}}$$
On a ainsi, d'après la question 2b, $\text{e} \le \left(1 – \dfrac{1}{n}\right)^{-n}$. Ainsi en reprenant cette inégalité et celle trouvée à la question 2a on a bien:
Si on prend $n = 1~000$ et qu'on utilise l'encadrement précédent on trouve:
$$2, 7169 \le \text{e} \le 2, 7197$$
$\quad$
Exercice Terminale S Fonction Exponentielle A D
$f'(x) = \dfrac{\left(1 +\text{e}^x\right)\text{e}^x – \text{e}^x\left(x + \text{e}^x\right)}{\left(\text{e}^x\right)^2} = \dfrac{\text{e}^x\left(1 + \text{e}^x- x -\text{e}^x\right)}{\text{e}^{2x}}$ $=\dfrac{(1 – x)\text{e}^x}{\text{e}^{2x}}$ $=\dfrac{1 – x}{\text{e}^x}$
La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$, le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1 – x$. Par conséquent la fonction $f$ est croissante sur $]-\infty;1]$ et décroissante sur $[1;+\infty[$. La fonction $f$ est dérivable sur $\R^*$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R^*$ dont le dénominateur ne s'annule pas sur $\R^*$. $f'(x)=\dfrac{x\text{e}^x-\text{e}^x}{x^2} = \dfrac{\text{e}^x(x – 1)}{x^2}$. La fonction exponentielle et la fonction $x \mapsto x^2$ étant strictement positive sur $\R^*$, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x – 1$. Applications géométriques de nombre complexe - forum mathématiques - 880557. La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;1]$ et croissante sur $[1;+\infty[$. $f'(x) = \dfrac{-\text{e}^x}{\left(\text{e}^x – 1\right)^2}$.
Exercice Terminale S Fonction Exponentielle De La
la fonction $f$ est donc dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$. $\begin{align*} f'(x)&=\left(3x^2+\dfrac{2}{5}\times 2x\right)\e^{x^3+\scriptsize{\dfrac{2}{5}}\normalsize x^2-1} \\
&=\left(3x^2+\dfrac{4}{5}x\right)\e^{x^3+\scriptsize{\dfrac{2}{5}}\normalsize x^2-1}
\end{align*}$
La fonction $x\mapsto \dfrac{x+1}{x^2+1}$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$. $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{x^2+1-2x(x+1)}{\left(x^2+1\right)^2}\e^{\dfrac{x+1}{x^2+1}}\\\\
&=\dfrac{x^2+1-2x^2 -2x}{\left(x^2+1\right)^2}\e^{\dfrac{x+1}{x^2+1}}\\\\
&=\dfrac{-x^2-2x+1}{\left(x^2+1\right)^2}\e^{\dfrac{x+1}{x^2+1}}
Exercice 5
Dans chacun des cas, étudier les variations de la fonction $f$, définie sur $\R$ (ou $\R^*$ pour les cas 4. et 5. Exercice terminale s fonction exponentielle de la. ), dont on a fourni une expression algébrique. $f(x) = x\text{e}^x$
$f(x) = (2-x^2)\text{e}^x$
$f(x) = \dfrac{x + \text{e}^x}{\text{e}^x}$
$f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x}$
$f(x) = \dfrac{1}{\text{e}^x-1}$
Correction Exercice 5
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Exercice Terminale S Fonction Exponentielle A Un
Inscription / Connexion Nouveau Sujet Posté par Maesan 01-06-22 à 16:12
Posté par Camélia re: Valeurs propres et espaces propres 01-06-22 à 16:36 Bonjour
Il est évident que A peut être diagonalisable et avoir des valeurs propres distinctes! D'autre part
vérifie mais n'est pas diagonalisable! Exercice terminale s fonction exponentielle a d. Vérifie l'énoncé. Posté par Rintaro re: Valeurs propres et espaces propres 01-06-22 à 16:58 Bonjour à vous,
Camélia je pense que l'énoncé est correct et qu'il faut interpréter comme ceci:
(P) = A est diagonalisable A = I_n
(P') Sp(A) = {}
Montrer que (P) (P')
Posté par Rintaro re: Valeurs propres et espaces propres 01-06-22 à 16:59 Un énoncé un peu sadique pour au final une proposition assez simple tu comprends mieux ce qu'il faut démontrer Maesan ou tu as besoin de plus d'explications? Ce topic
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