Lecture CP, Mini-livres lire/écrire, période 2 CE1, période 2 CP, période 3 CP, période 4 CP, période 5 CP, période1 CE1 Les mini-livres pour lecteurs débutants ( planète des Alphas) En ce début de quatrième période au CP, les possibilités de lecture des élèves sont variées.
Livres Illustrés | Gallimard Jeunesse
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Illustrer Des Livres Pour Enfants - Martin Salisbury - Librairie Eyrolles
Pour éviter que les traits bavent, utilisez un stylo avec de l'encre imperméable. Pour obtenir un style de BD avec des contours bien définis, essayez de tracer tous les traits à l'encre avant de peindre puis coloriez simplement les illustrations lorsque vous avez terminé. Vous n'êtes pas obligé de repasser sur les traits à l'encre. Si vous voulez un style plus doux et abstrait, vous pouvez limiter les contours marqués ou même ne pas les tracer du tout [13]. Conseils
Si vous travaillez avec l'éditeur ou l'auteur, proposez plusieurs dessins parmi lesquels la personne pourra choisir afin qu'elle puisse apporter une contribution positive au procédé d'illustration. Texte et images…. Éléments nécessaires
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Du papier aquarelle
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(2016: 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse. Même si localement (notamment lors de la phase de présentation orale) des rappels sur la convexité peuvent être énoncés, ceci n'est pas attendu dans le plan. On pensera bien sûr, sans que ce soit exhaustif, aux problèmes d'optimisation, au théorème de projection sur un convexe fermé, au rôle joué par la convexité dans les espaces vectoriels normés (convexité de la norme, jauge d'un convexe,... Par ailleurs, l'inégalité de Jensen a aussi des applications en intégration et en probabilités. Pour aller plus loin, on peut mettre en évidence le rôle joué par la convexité dans le théorème de séparation de Hahn-Banach. On peut aussi parler des propriétés d'uniforme convexité dans certains espaces, les espaces $L^p$ pour $ p > 1$, par exemple, et de leurs conséquences. Plans/remarques:
2020: Leçon 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse. Plan de Owen
Auteur:
Références:
Analyse, Gourdon
Analyse numérique et optimisation: une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire
Analyse fonctionelle, Brézis
Cours d'analyse, Pommelet
Analyse.
Inégalité De Convexité Démonstration
Bonjour,
Pourriez vous m'aider à résoudre le problème suivant. Je cherche à prouver que $\tan(x)$ est convexe sur ${\displaystyle \left[0, {{\pi}\over{2}}\right[}$ avec l'inégalité:
${\displaystyle f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}}. } $
Je précise que je sais qu'on peut utiliser le signe de la dérivée seconde de $\tan(x)$; d'ailleurs, c'est assez facile de prouver la convexité de $\tan(x)$ avec ça; mais il faut impérativement utiliser l'inégalité entre les valeurs moyennes ci-dessus. Pour l'instant, j'ai choisi de poser ${\displaystyle u = \tan\left(\frac{a}{2}\right)}$ et ${\displaystyle v = \tan\left(\frac{b}{2}\right)}$. Dans ce cas, j'obtiens avec les identités trignométriques:
${\displaystyle \frac{u+v}{1-uv} \leq \frac{u}{1-u^2} + \frac{v}{1-v^2}}$ avec $u, v \in [0, 1[$. Là, on remarque que pour $u = v$, il y a égalité; donc quitte à permuter $u$ et $v$, on peut supposer que $u < v$. En partant de $u < v$, j'obtiens après différentes opérations:
${\displaystyle \frac{u}{1-u^2} \leq \frac{u}{1-uv} \leq \frac{v}{1-uv} \leq \frac{v}{1-v^2}.
Inégalité De Convexité Généralisée
Cette propriété n'est en fait que la traduction visuelle de la définition que nous avons donnée d'une fonction convexe. Nous allons essayer de mieux voir ceci à travers les deux lemmes suivants:
Lemme 1
Soit avec. Un réel vérifie si, et seulement si, il s'écrit sous la forme:
avec. Démonstration
Tout réel s'écrit sous la forme pour un unique, car, avec. Cette unique solution vérifie:
Lemme 2
Soient le point de coordonnées et le point de coordonnées. Un point appartient au segment si et seulement si ses coordonnées sont de la forme:, avec. Notons les coordonnées de et celles de. Les points du segment sont, par définition, tous les barycentres des deux points et, pondérés respectivement par deux coefficients de même signe tels que, c'est-à-dire les points de coordonnées, avec. Grâce aux deux lemmes qui précèdent et au schéma qui suit, nous comprenons maintenant mieux que la propriété 1 n'est que la traduction de la définition d'une fonction convexe. Propriété 2 (inégalité des pentes)
Si une application est convexe alors, pour tous dans:
et par conséquent,.
Inégalité De Connexite.Fr
Forme intégrale [ modifier | modifier le code]
Cas particulier [ modifier | modifier le code]
Inégalité de Jensen —
Soient g une fonction continue de [0, 1] dans] a, b [ (avec –∞ ≤ a < b ≤ +∞) et φ une fonction convexe de] a, b [ dans ℝ. Alors,. Cet énoncé a un sens car sous ces hypothèses, l'intégrale de g appartient à [ a, b] et φ ∘ g est continue sur [0, 1] donc intégrable. Théorie de la mesure [ modifier | modifier le code]
Inégalité de Jensen [ 1], [ 2] —
Soient
(Ω, A, μ) un espace mesuré de masse totale μ(Ω) égale à 1,
g une fonction μ-intégrable à valeurs dans un intervalle réel I et
φ une fonction convexe de I dans ℝ. Alors,
l'intégrale de droite pouvant être égale à +∞ [ 3]. Cet énoncé a un sens car sous ces hypothèses, l'intégrale de g appartient à I. Lorsque φ est strictement convexe, les deux membres de cette inégalité sont égaux (si et) seulement si g est constante μ- presque partout [ 4]. De ce théorème on déduit, soit directement [ 2], [ 5], soit via l' inégalité de Hölder, une relation importante entre les espaces L p associés à une mesure finie de masse totale M ≠ 0:,
avec égalité si et seulement si est constante presque partout.
Inégalité De Convexité Ln
Une partie $C$ de $E$ est dite convexe si, pour tous $u, v\in C$ et tout $t\in [0, 1]$, alors
$tu+(1-t)v\in C$. Proposition: Une partie $C$ de $E$ est convexe si et seulement si
elle contient tous les barycentres de ses vecteurs affectés de coefficients positifs. Fonctions convexes d'une variable réelle
$I$ est un intervalle de $\mathbb R$ et $f$ est une fonction de $I$ dans $\mathbb R$. On dit que $f$ est convexe si, pour tous $x, y\in I$ et tout $t\in [0, 1]$, on a
$$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y). $$
Autrement dit, $f$ est convexe lorsque son épigraphe $E(f)$ est convexe, où
$$E(f)=\{(x, y);\ x\in I, y\geq f(x)\}$$
(il s'agit donc de la partie située au dessus de la courbe de $f$). Ceci signifie aussi que la courbe représentative de $f$ est en-dessous
de l'une quelconque de ses cordes
entre les deux extrémités de la corde. Proposition: $f$ est convexe si et seulement si, pour tout $n\geq 2$, pour tous
$x_1, \dots, x_n\in I$, pour tous réels $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ de $[0, 1]$ tels que $\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$, alors
$$f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right)\leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i).
Inégalité De Convexité Sinus
Pour déterminer p, on traduit le fait que le point B ( b, f ( b)) appartienne à la droite (AB): on a f ( b) = f ( b) − f ( a) b − a b + p, d'où p = f ( b) − f ( b) − f ( a) b − a b. Ainsi, l'équation réduite de la tangente cherchée est: y = f ( b) − f ( a) b − a x + f ( b) − f ( b) − f ( a) b − a b, soit y = f ( b) − f ( a) b − a ( x − b) + f ( b). c) Déduire une inégalité traduisant la convexité Par hypothèse, f est convexe sur I, donc C est située au-dessous de ses sécantes ou cordes. La droite ( AB) est une sécante de C. Considérons les points N et P de même abscisse x 0 (compris entre les abscisses de A 0 et B 0), N étant un point de la droite ( AB) et P un point de la courbe C. La fonction f étant convexe sur I, P est donc au-dessous de N, ce qui se traduit par le fait que l'ordonnée de P soit inférieure à celle de N. P a pour coordonnées ( t a + ( 1 − t) b; f ( t a + ( 1 − t) b)) car P est un point de C. N a pour ordonnée y 0 telle que: y 0 = f ( b) − f ( a) b − a ( x 0 − b) + f ( b) = f ( b) − f ( a) b − a ( t a + ( 1 − t) b − b) + f ( b), soit y 0 = f ( b) − f ( a) b − a ( t ( a − b)) + f ( b) = − t ( f ( b) − f ( a)) + f ( b) = t f ( a) + ( 1 − t) f ( b).