Inégalité de Young
Soient tels que. Pour tous réels positifs et,. En appliquant l'inégalité de convexité à,, et, on obtient:
qui équivaut à la formule annoncée. Inégalité de Hölder
Si et
alors, pour toutes suites et de réels positifs,. Sans perte de généralité, on peut supposer que les deux facteurs de droite sont non nuls et finis et même (par homogénéité) égaux à. En appliquant l'inégalité de Young on obtient, pour tout, (avec égalité si et seulement si). En sommant, on a donc bien, avec égalité si et seulement si. Application 4: forme intégrale de l'inégalité de Jensen [ modifier | modifier le wikicode]
Soient
un espace mesuré tel que,
une fonction -intégrable à valeurs dans un intervalle réel et
une fonction convexe de dans. Alors,,
l'intégrale de droite pouvant être égale à. La forme discrète de l'inégalité de Jensen ( voir supra) correspond au cas particulier où ne prend qu'un ensemble fini ou dénombrable de valeurs. Inversement, la forme intégrale peut se déduire de la forme discrète par des arguments de densité (à comparer avec l' exercice 1.
Inégalité De Convexity
En reprenant l'inégalité du a) avec
a = a j p ∑ i = 1 n a i p et b = b j q ∑ i = 1 n b i q
puis en sommant les inégalités obtenues, on obtient celle voulue. Exercice 8 1403
Soient x 1, …, x n des réels positifs. Établir
1 + ( ∏ k = 1 n x k) 1 / n ≤ ( ∏ k = 1 n ( 1 + x k)) 1 / n . En déduire, pour tous réels positifs a 1, …, a n, b 1, …, b n
( ∏ k = 1 n a k) 1 / n + ( ∏ k = 1 n b k) 1 / n ≤ ( ∏ k = 1 n ( a k + b k)) 1 / n . Exercice 9 4688
(Entropie et inégalité de Gibbs)
On dit que p = ( p 1, …, p n) est une distribution de probabilité de longueur n lorsque les p i sont des réels strictement positifs de somme égale à 1. On introduit alors l' entropie de cette distribution définie par
H ( p) = - ∑ i = 1 n p i ln ( p i) . Soit p une distribution d'entropie de longueur n. Vérifier
0 ≤ H ( p) ≤ ln ( n) . Soit q une autre distribution d'entropie de longueur n. Établir l'inégalité de Gibbs
H ( p) ≤ - ∑ i = 1 n p i ln ( q i) . Exercice 10 2823 MINES (MP)
(Inégalité de Jensen intégrale) Soient f: I → ℝ une fonction convexe continue 1 1
1
Lorsqu'une fonction convexe est définie sur un intervalle ouvert, elle est assurément continue (voir le sujet 4687).
Inégalité De Convexité Exponentielle
Ensembles convexes
Enoncé Soit $C_1$, $C_2$ deux parties convexes d'un espace vectoriel réel $E$ et soit $s\in [0, 1]$. On pose
$C=sC_1+(1-s)C_2=\{sx+(1-s)y;\ x\in C_1, \ y\in C_2\}$. Démontrer que $C$ est convexe. Enoncé Soit $C_1$ et $C_2$ deux ensembles convexes de $\mathbb R^n$ et $C_1+C_2=\{x+y;\ x\in C_1, \ y\in C_2\}$. Démontrer que $C_1+C_2$ est convexe. Enoncé Pour tout $E\subset\mathbb R^n$, on appelle enveloppe convexe de $E$ l'ensemble
$$K(E)=\bigcap_{A\in \mathcal E(E)}A$$
où $\mathcal E(E)$ désigne l'ensemble des convexes de $\mathbb R^n$ contenant $E$. Démontrer que $K(E)$ est convexe. Déterminer $K(E)$ lorsque $E$ est la courbe de la fonction $y=\tan x$ pour $x\in \left]-\frac{\pi}2, \frac{\pi}2\right[$. Inégalités de convexité
Enoncé
Soient $a, b\in\mathbb R$. Montrer que $\displaystyle e^{\frac{a+b}2}\leq\frac{e^a+e^b}{2}. $
Montrer que $f(x)=\ln(\ln (x))$ est concave sur $]1, +\infty[$. En déduire que $\forall a, b>1, \ \ln\left(\frac{a+b}{2}\right)\geq \sqrt{\ln a.
Convexité, concavité
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\). On dit que \(f\) est convexe sur \(I\) si tout segment reliant deux points de la courbe se trouve au-dessus de la courbe
On dit que \(f\) est concave sur \(I\) si tout segment reliant deux points de la courbe se trouve en-dessous de la courbe
Exemple: Les fonction \(x\mapsto x^2\), \(x\mapsto |x|\) et \(x\mapsto e^x\) sont convexes sur \(\mathbb{R}\). La fonction \(x\mapsto \sqrt{x}\) est concave sur \(\mathbb{R}_+\). La fonction \(x\mapsto x^3\) est concave sur \(\mathbb{R}_-\) et convexe sur \(\mathbb{R}_+\). Exemple: Attention: on parle bien de convexité sur un intervalle. Par ailleurs, ce n'est pas parce qu'une fonction \(f\) est convexe sur deux intervalles \([a, b]\) et \([b, c]\) que \(f\) est aussi convexe sur \([a, c]\). La fonction représentée ci-dessus est convexe sur \([-3;0]\) et sur \([0;3]\) mais n'est pas convexe sur \([-3, 3]\).
50 min
Facile
Selle d'agneau confite
1 commentaire
La selle d'agneau confite est un plat qui peut se cuisiner de différentes manières, aussi bien à la française qu'à l'orientale, cette dernière contenant plus d'épices pour un plat plus relevé. Un gratin de pommes de terre, des haricots verts ou bien des haricots blancs arrosés du jus de cuisson sont généralement les accompagnements que l'on retrouve avec la selle d'agneau confite. 500 g de selle d'agneau
8 c. à soupe d'huile d'olive
2 c. à soupe d'origan
2 c. à soupe d'herbes de Provence
1 c. à soupe d'ail
Sel, poivre
1. Dans un saladier, mélangez les herbes, l'ail émincé, et l'huile d'olive. Salez et poivrez. Mettez ce mélange dans un plat allant au four puis y disposez la selle d'agneau. Mélangez bien pour recouvrir la viande avec les épices. Gestes techniques
Émincer ses légumes
2. Laissez mariner pendant 1 heure au réfrigérateur en retournant la viande au bout de 30 minutes. Recette selle d agneau à la cocotte definition. 3. Un peu avant de sortir la viande de réfrigérateur, préchauffez le four à th.
Recette Selle D Agneau À La Cocotte Photo
4 Temps total 01 hours 30 minutes Cuisine agneau de noël Plus détaillée » GIGOT D'AGNEAU EN CROûTE: DéCOUVREZ LES RECETTES DE... Découvrez notre recette facile et rapide de Gigot d'agneau en croûte sur Cuisine Actuelle! Retrouvez les étapes de préparation, des astuces et conseils pour un plat réussi. 3 Temps total 65 minutes Baissez le thermostat à 180 °C. Enfournez 25 min pour terminer la cuisson. Servez le gigot en croûte chaud. Plus détaillée » PAIN EN COCOTTE FACILE: DéCOUVREZ LES RECETTES DE CUISI… Découvrez notre recette facile et rapide de Pain en cocotte sur Cuisine Actuelle! Retrouvez les étapes de préparation, des astuces et conseils pour un plat réussi. 3 Temps total 50 minutes Scarifiez la surface de votre pâte. Fermez la cocotte avec son couvercle. Recette selle d agneau à la cocotte photo. Enfournez à four froid puis allumez-le à 240 °C et faites cuire pendant 40 min. Plus détaillée » LA RECETTE TRADITIONNELLE DU NAVARIN D'AGNEAU - MARIE CLAIRE Facile à réaliser, découvrez notre recette traditionnelle du navarin d'agneau.
Recette Selle D Agneau À La Cocotte De
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Crêpe au fromage, Omelette, Tarte aux pommes, Cake au jambon
Selle d'agneau en cocotte
Type: Plat principal
Difficulté: Facile
Part(s) / Personne(s):
4 Personnes
Préparation:
15 min
Cuisson:
35 min
Temps Total:
50 min
Ingrédients
500 g de selle d'agneau 8 c. à soupe d'huile d'olive 2 c. à soupe d'origan 2 c. à soupe de herbes de Provence 1 c. à soupe d'ail en poudre 1 c. à café de sel 1 c. à café de poivre
Recette
Etape: 1
Dans une cocotte allant au four, déposez la selle d'agneau. Etape: 2
Dans un récipient, préparez la marinade: mélangez les herbes, l'huile d'olive et l'ail. Salez, poivrez. Mélangez bien et versez ce mélange sur la selle d'agneau. Placez le tout au réfrigérateur pendant 1 heure afin que la viande s'imprègne bien de la marinade. Etape: 3
Au bout d'1 heure, préchauffez le four à th. Selle d'agneau en cocotte - Recette - Difficulté : facile. 7 (210°C), et enfournez la cocotte pendant 35 min, en veillant à retourner la viande de temps à autre pour qu'elle dore de tous les côtés. Etape: 4
Dégustez bien chaud.
Recette Selle D Agneau À La Cocotte Definition
4. Dégustez bien chaud. Astuces
Demandez à votre boucher de vous préparer la viande pour une recette en cocotte. La selle d'agneau doit être désossée puis ficelée afin qu'elle se tienne bien. Vous pouvez ajouter un peu de miel avant d'enfourner la viande pour une touche sucrée-salée. Votre adresse email sera utilisée par M6 Digital Services pour vous envoyer votre newsletter
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Recette Selle D Agneau À La Cocotte De Poulet
Temps de préparation: 20 minutes Temps de cuisson: 3 heures. Ingrédients. Pour 4 personnes. 1 selle d'agneau de 1kg (*) 500 g de marrons épluchés (en bocal, ou épluchés/précuits maison) 50 g de cèpes séchées; 2 échalotes; 200 ml de vin blanc; 1 bouquet garni (thym, laurier) De Plus détaillée »
Légumes printaniers (carottes, pommes de terre, navets, pois, fèves, oignons... ) et épaule d'agneau sont rassemblés pour réaliser ce plat convivial et savoureux! De Temps total 2 hours 10 minutes 1. Coupez la viande en cubes. Pelez et émincez les 2 gros oignons, faites-les fondre dans une cocotte avec l'huile. Retirez-les, faites dorer la viande à leur place, puis poudrez de farine et mouillez avec 50 cl d'eau. 2. Remettez les oignons revenus, ajoutez la tablette de bouillon émiettée, le concentré de tomates et le bouquet garni. Salez, poivrez, couvrez et laissez mijoter 30 min. 3. Pendant ce temps, pelez et lavez les légumes nouveaux. Coupez-les en tronçons s'ils sont gros. Selle d'agneau en cocotte, marrons et cèpes pour les fêtes - Recette par Flo/Au Fil du Thym. Équeutez les pois gourmands. Après 30 min de cuisson de la viande, ajoutez les pommes de terre, les carottes et les navets. 4. Poursuivez la cuisson 15 min à couvert à feu doux. Passé ce temps, ajoutez les pois, les oignons nouveaux et les fèves. Laissez cuire 15 min. 5. Servez le navarin dans un plat préchauffé et parsemez des herbes ciselées.